Eulerlagrange

Sistemas Dinámicos Carlos Armando De Castro Payares Ecuaciones de Euler-Lagrange y Lagrangiano de Sistemas Mecánicos de partículas Las ecuaciones de Euler-Lagrange se utilizan para describircualquier sistema mecánico por medio de coordenadas generalizadas de posición. El lagrangiano se utiliza para los sistemas conservativos y es un caso particular de las ecuaciones de Euler-Lagrange.Definiremos:
q j : Coordenadas generalizadas de posición, puede ser una distancia, un ángulo, etc.…
q j : Velocidades generalizadas, son las derivadas temporales de las posiciones. Q j : Fuerzas generalizadasque actúan sobre la partícula j.

Entonces, si T es la energía cinética total del sistema (la suma de las energías cinéticas de todas las partículas) y V es la energía potencial total del sistema,las ecuaciones de Euler- Lagrange para la j-ésima partícula son

d ⎛ ∂T ⎜ dt ⎜ ∂q j ⎝

⎞ ∂T ⎟− = Qj ⎟ ∂q j ⎠

En el caso de un sistema conservativo, sabemos que Q j = − ecuaciones deEuler-Lagrange resultan
d ⎛ ∂T ⎜ dt ⎜ ∂q j ⎝ d ⎛ ∂T ⎜ dt ⎜ ∂q j ⎝ d ⎛ ∂T ⎜ dt ⎜ ∂q j ⎝ ⎞ ∂T ∂V ⎟− =− ⎟ ∂q ∂q j j ⎠ ⎞ ∂T ∂V ⎟− + =0 ⎟ ∂q ∂q j j ⎠ ⎞ ∂ (T − V ) ⎟− =0 ⎟ ∂q j ⎠

∂V , entonces las ∂q j

Ellagrangiano de un sistema se define como L = T − V , además, como en los sistemas mecánicos la energía potencial no depende de las velocidades sino únicamente de las posiciones, tenemos que ∂V / ∂q j = 0 ,entonces podemos escribir

∂T ∂T ∂V ∂( T − V ) ∂L = − = = ∂q j ∂q j ∂q j ∂q j ∂q j

De lo anterior, vemos que las ecuaciones del sistema pueden escribirse en términos del lagrangiano de la formaSistemas Dinámicos Carlos Armando De Castro Payares

d ⎛ ∂L ⎜ dt ⎜ ∂q j ⎝
Ejemplo: péndulo simple

⎞ ∂L ⎟− =0 ⎟ ∂q j ⎠

Considere un péndulo simple como el que se muestra en la figura:Como el sistema es conservativo (se asume que no hay pérdidas por fricción ni resistencia del aire) podemos describirlo utilizando el lagrangiano, entonces • Energía cinética de la masa:

T =
•...