Eutanasia


TRABAJO DE:
MATEMATICAS

PRESENTADO POR:
BRAYAN ROY
MANUEL FURNIELES
LUIS AGUIRRE

LICENSIADA:
MONICA SEGURA



INSTITUCION EDUCATIVA:
ANTONIA SANTOS


GRADO:
10°C


MONTERIA-CORDOBA
2014


Las Cónicas
“Las Cónicas” de Apolonio de Pergamo (262-190 a. C), constaban “de ocho libros. Esta obra es elresultado de estudiar las secciones de un cono a las que denomino cónicas. Apolonio descubrió que se obtenían al cortar mediante una superficie plana un cono circular en diversas posiciones
.
Depende de cómo se corten, las secciones resultantes serán círculos, elipses, hipérbolas o parábolas. Aunque estos conceptos no tuvieron posibilidad de ser aplicados a la ciencia de su época, su importancia haquedado plenamente justificada con el paso del tiempo.


Hay varias formas de estudiar las cónicas:

Se pueden estudiar como hicieron los griegos, como has visto en las figuras anteriores, en términos de intersecciones del cono con planos
Se pueden estudiar como casos particulares de ecuaciones de segundo grado con dos variables x e y.
A x2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0Sin embargo en este nivel, como continuación del capıtulo de métrica en el plano, es mas adecuado estudiarlas como lugares geométricos de puntos que cumplen cierta propiedad geométrica


La Circunferencia


Una circunferencia es el lugar geométrico de los P (x, y) que equidistan de un punto fijo C llamado (centro)

d(P, C) = cte =radio





Sea P (x, y) un punto cualquiera verificando d(P, C) = r, siendo r el radio y C(x0, y0) el centro. De la fórmula de la distancia de dos puntos se tiene.
(x− x0)2+ (y − y0)2=r

y elevando al cuadrado se obtiene la ecuación de la circunferencia
(x − x0 )2 + (y − y0 )2 = r2

Cuando la circunferencia tiene el centro en el origen se tiene la ecuación reducida
x2 + y 2 = r2(2)

Ejemplo: Halla el centro y el radio de la circunferencia

x2 + y 2 − 4 x − 6 y = 12

Solución

Para conseguir la ecuación reducida del tipo (1) se agrupan cuadrados de la siguiente forma:
x2 − 4 x = x2 − 2 · 2 x + 4 − 4 = (x − 2)2 – 4
y 2 − 6 y = y 2 − 2 · 3 y + 9 − 9 = (y − 3)2 – 9

Sustituyendo en la expresión dada se obtiene:

(x − 2)2 − 4 + (y − 3)2 − 9 = 12 =⇒ (x − 2)2 +(y − 3)2 = 25

Luego el centro es C(2, 3) y el radio r = 5

Recta tangente a una circunferencia

Si desde un punto P (x, y) trazamos una recta t, ser´ tangente a una circunferencia cuando la distancia del centro a la recta coincida con el radio
• La recta es tangente si d(C, t) = radio
• La recta se llama exterior si d(C, r) > radio
• la recta se llama secante si d(C, s) < radio

Laintersecta en dos puntos A y B.

Ejemplo. Comprobar que la recta s ≡ 4 x − 3 y + 6 = 0 es tangente a la circunferencia
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(x − 2) + (y − 3) = 1
Solución:
Veamos que el radio coincide con la distancia del centro a la recta dada


Potencia de un punto
Si desde un punto P (x, y) trazamos una recta que corte a unacircunferencia C en dos puntos A y B, se llama potencia del punto respecto de la circunferencia al producto P A · P B.

P ot(P )C = P A · P B

Teorema:El valor de la potencia de un punto P respecto de una circunferencia es constante.

P ot(P )C = constante



La elipse
Una elipse es el lugar geométrico de los P (x, y) cuya suma e de distancias a dos puntos fijos F y F (focos) es constante|P F | + |P F | = cte = 2a


Para su construcción manual, se toma un segmento de longitud 2 a y se sujetan sus extremos en los puntos F y F, los focos, si se mantiene el segmento tirante y se va girando se obtiene el grafico de la elipse.

Ecuaciones reducidas de la elipse

Teorema. La ecuación reducida de una elipse cuando los focos están situados en el eje Ox y |P F | + |P F | = 2a...