EvaluaciA N_2_pautasin_puntaje

UNIVERSIDAD DE CONCEPCIÓN
FACULTAD DE CS. FÍSICA Y MATEMÁTICA

INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA UNIVERSITARIA
EVALUACIÓN 2 (PAUTA)
Problema 1.
Demostrar que para todo entero n, n ≥ 2, se verifica:
(1 +a)n > 1 + na
siendo a un número real distinto de cero y mayor que −1.
Solución
Sea P (n) la desigualdad (1 + a)n > 1 + na.
S = {n ∈ N : P (n) es verdadera }.
i) 2 ∈ S pues
(1 + a)2 = 1 + 2a + a2 > 1 +2a, ya que a2 > 0(a = 0).
ii) k ∈ S ⇒ k + 1 ∈ S
Hip. Inducción: (1 + a)k > 1 + ka.
Tesis: (1 + a)k+1 > 1 + (k + 1)a.
Demostración.
(1 + a)k+1 = (1 + a)k (1 + a)
> (1 + ka)(1 + a)
= 1 + a + ka + ka2
=1 + a(k + 1) + ka2
> 1 + a(k + 1)

(propiedad exponente)
(hipótesis de inducción)
(a > −1, es decir, 1+a>0)
(multiplicando)
(factorizando)
(pues ka2 > 0, k > 0 y a = 0)

Así, k ∈ S =⇒ (k + 1) ∈ S.
De(i) y (ii) por el PIM se tiene que para todo entero n, n ≥ 2, se verifica
(1 + a)n > 1 + na con a un número real distinto de cero y mayor que −1.

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Problema 2.
La suma de los n primeros términos de una Progresión Aritmética a1 , a2 , . . . , an ,
n2
es Sn =
− n, ∀n ∈ N. Encuentre los cuatro primeros términos de la Progresión
4aritmética.
Solución
Para n = 4, S4 = 0, de donde
a1 + a2 + a3 + a4 = a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) + (a1 + 3d)
=0
Luego, d = −

2a1
.
3

Como
n(a1 + an )
2
n(2a1 + (n − 1)d)
=
2
n2
− n,
=
4

Sn =

reemplazandod obtenemos:
na1 (4 − n)
n
=n
−1 .
3
4
3
Lo que determina que a1 = − .
4
Así, los cuatro términos pedidos son:
3
1 1
3
− , − ,
y
4
4 4
4

2

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Problema 3.
Considere la cónica definida por 16y 2 + 9x2 = 144.
a) Determinar sus vértices.
Solución
Se tiene
16y 2 9x2
+
=1
144
144
x2
y2
+
⇐⇒
2
2 = 1

16y 2 + 9x2 = 144 ⇐⇒

12
4
2

⇐⇒

12
3

yx2
+
=1
32 42

La cual representa una elipse centrada en el origen, cuyos vértices se encuentran en la intersección de los ejes X e Y .
x = 0 =⇒ y = ±3
y = 0 =⇒ x = ±4
Luego, los vértices de la...