Eveito

5.2 Ejemplos Transformaciones Lineales
Hallar el conjunto de las preimágenes del vector nulo para la transformación lineal

Solución: Necesitamos determinar los vectores de tales queEvaluando

es decir,

luego, utilizando la matriz asociada al sistema, obtenemos

por lo tanto,

con lo cual,
(x;y;z) = (0;-(1/3)z;z)
          = z(0;-(1/3);1) Así el conjunto de laspreimágenes del vector nulo es el subespacio

Demostrar que la siguiente función

es una transformación lineal.

Solución: Veamos primero que respeta la suma.
1Sean cualesquiera enT((x;y)+(x';y')) = T((x+x';y+y'))
                       = (y+y';x+x')
                       = (y;x)+(y';x')
                       = T((x;y))+T((x';y'))

Ahora la multiplicación por escalar.
Seacualesquiera en y en

T(a(x;y)) = T((ax;ay))
                   = (ay;ax)
                   = a(y;x)
                   = aT((x;y))

  con lo cual hemos demostrado que es una transformación lineal.2222Determinar una transformacion lineal de en

tal que y
Solución: Como es una base de y los vectores y pertenecen a entonces existe un única transformación lineal.
Explicitemos latransformación, para ello usemos la observación anterior. Sea luego

aplicando la transformación lineal obtenemos

T(x;y) = T((x-y)(1;0)+y(1;1))
          = (x-y)T(1;0)+yT(1;1)
          =(x-y)(1;2;-3)+y(5;-3;-2)
          = (x+4y;2x-5y;-3x+y)

Por lo tanto obtenemos la siguiente transformación lineal:

Ejemplo 120Dada la transformación lineal

Determinar una base de .
Solución: Sea yconsideremos la base canónica de , luego

Aplicando la transfomación lineal tenemos
T(x;y) = T(x(1;0)+y(0;1))
          = xT(1;0)+yT(0;1)

pero, y
Así,

es decir,
Im(T) ={(a;b;c)/((x;y))(T(x;y)=(a;b;c))}
          = {(a;b;c) /(a;b;c)=x(2;1;1)+y(-1;-3;0)}
          = <(2;1;1);(-1;-3;0)

Es fácil probar que el conjunto es linealmente independiente, por lo tanto, es otra base de...