eventos independientes

2.6.1. Eventos independientes: Regla de Bayes
La regla de Bayes es un caso especial de la probabilidad condicional que se aplica cuando se desea calcular la probabilidad condicional de un eventoque ocurrió primero dado lo que ocurrió después. Para llegar a establecer tan útil regla vamos a estudiar una proposición previa.
Proposición 3.8: Sean Al, A2, ,Ak, una partición de S, esto esAiÇ Aj = Æ ,y . Entonces para cualquier evento B se tiene que: P(B) = P(A1) P(B/A1) + P(A2) P(B/A2) + ¼ + P(Ak)P(B/Ak)
Demostración: Considérese el siguiente diagrama

P(B) = P(BÇ S)
= P[BÇ (A1 ÈA2 È ¼ È Ak )]
= P[(BÇ A1)È (BÇ A2)È ¼ È (BÇ Ak )] (unión de eventos mutuamente excluyentes)
= P(BÇ A1) + P(BÇ A2) +¼ +P(BÇ Ak) (por el axioma 3)
= P(A1)P(B/A1)+ P(A2)P(B/A2)+ ¼ +P(Ak)P(B/Ak) (porecuación [3.3])
=
 
Proposición 3.9: (REGLA DE BAYES)
Sean Al, A2, ,Ak, una partición de S y B un evento cualquiera en S. Entonces

Demostración: Por la proposición 3.8, [3.6]
Por ladefinición de probabilidad condicional se tiene
[3.7]
[3.8]
Igualando [3.7] y [3.8], y despejando P(Ai/B) se tiene
[3.9]
Sustituyendo [3.6] en [3.9] se llega a la fórmula deseada

Corolario:Si A y AC son una partición de S y B es un evento cualquiera de S, entonces


Ejemplo 31: Un ingeniero químico sabe que cuando se compran etiquetas a un proveedor A, el número de etiquetasdefectuosas y no defectuosas están en la relación 1:24; mientras que el proveedor B afirma que la probabilidad de encontrar una etiqueta no defectuosa en su compañía es de 9/10. Si se compra la mismacantidad de etiquetas a ambos proveedores:
a. ¿Cuál es la probabilidad de que si se encontró una defectuosa, ésta sea del proveedor B?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que sea del proveedor A, si seencontró que no es defectuosa?
Solución: Sea D el evento de que la etiqueta sea defectuosa y DC que no lo sea. Entonces por el corolario anterior se tiene:


Visto en un diagrama de árbol...