Evidencia de aprendizaje Cálculo diferencial


Unidad 4. Aplicaciones de la derivada


09/04/2013
Evidencia de aprendizaje. Optimización

Optimización es "mejorar el rendimiento de algo." Por lo tanto, la optimizacióncon funciones busca exactamente eso: mejorar el resultado que se busca. Es aplicable principalmente para áreas como la Economía, en nuestra vida diaria nos encontramos consituaciones en las cuáles elegir algo puede no resultar muy conveniente y costarnos más de lo que podría haber sido de realizar una simple operación.

Unidad 4. Aplicaciones de laderivada
Problemas de optimización
Ejemplo 1.
Planteamiento
Se pretende fabricar una lata de conserva cilíndrica (con tapa) de 1 litro de capacidad. ¿Cuáles deben ser sus dimensionespara que se utilice el mínimo posible de metal?
Función
A=
V =
h=
A=2r + = +
A’= - + 4 =
Número crítico

=0
=
=
=


Sustituyendo la derivada en h=
= == =
Segunda derivada
A’=
A’’= = = = ==
Máximos y mínimos
Sustituyendo el número crítico en la segunda derivada
= =

Conclusión
El envase debe tener una medidade un radio de y una altura de para tener un mínimo de consumo de material.











Ejemplo 2.
Planteamiento
El beneficio neto mensual, en millones de pesos, deuna empresa que fabrica autobuses viene dado por la función:
B(x)= 1.2x − (0.1x)3
Donde x es el número de autobuses fabricados en un mes.
1. Calcula la producción mensual quehacen máximo el beneficio.
2. El beneficio máximo correspondiente a dicha producción.
Primera derivada
B(x)= 1.2x − (0.1x)3
B’(x)= 1.2 - 3(0.1x)2 * .01
B’(x)= 1.2−0.003x2
Númerocrítico
1.2-0.003 x2 =0
x2= 1.2 / 0.003
x2 = 400
x=
x=20
Segunda derivada
B’(x)= 1.2−0.003x2
B’’(x)= −0.006x
Máximos y mínimos
B’’(20)= −0.006* 20
B’’(20)=-0.12
-0.12