Evoluciòn Del Àlgebra

2. ¿El álgebra es una generalización de la aritmética? ¿O la aritmética una generalización del álgebra?
El álgebra permite evidenciar la problemática de lo numérico, explicita las propiedades de los números que estaban implícitas, es una aritmética generalizada, extendida de los números particulares a números cualquiera, y por lo tanto de operaciones que se ejecutan a operaciones que seindican por signos. No se piensa tanto en el resultado de las operaciones como en elaborar fórmulas que solucionan todos los problemas de un mismo género.
Los adolescentes, al comenzar el estudio del álgebra, traen consigo las nociones y los enfoques que usaban en aritmética. Sin embargo, el álgebra no es simplemente una generalización de la aritmética. Aprender álgebra no es meramente hacer explícitolo que estaba implícito en la aritmética. El álgebra requiere un cambio en el pensamiento del estudiante de las situaciones numéricas concretas a proposiciones más generales sobre números y operaciones. La transición desde lo que puede considerarse como un modo informal de representación y de resolver problemas, a uno formal resulta ser difícil para muchos de los que comienzan a estudiarálgebra. Estos estudiantes siguen usando los métodos que les funcionaban en aritmética. (KIERAN, FILLOY 1989)
Este cambio de pensamiento requiere “romper” con algunos conocimientos y “hábitos” que provienen del marco de referencia anterior de tipo aritmético.
Esta “ruptura” con la aritmética implica, por ejemplo, cambiar con:
1. La forma de ver el signo igual
2. Las convenciones de anotaciones3. Métodos de simbolizar
4. Variables
5. Expresiones y ecuaciones

1. La idea extendida entre los estudiantes que comienzan con el álgebra de que el signo igual es la "señal de hacer algo" antes que un símbolo de la equivalencia entre los lados izquierdo y derecho de una ecuación (Kieran 1980) viene indicada por su renuencia inicial a aceptar proposiciones tales como 4+3=6+1. El pensar queel lado derecho debería indicar el resultado -esto es, 4+3=7- les permite dotar de significado a ecuaciones tales como 2x+3=7, pero no a ecuaciones tales como 2x+3= x+4. El que los estudiantes conciban el signo igual como un mero separador entre la secuencia de operaciones y el resultado les lleva a violar las propiedades simétrica y transitiva de la igualdad. Ejemplos

2. En aritmética, laconcatenación denota adición, por ejemplo 37 significa 30+7; 2 1/4 significa 2+1/4. Sin embargo, en álgebra, la concatenación significa multiplicación, por ejemplo 4b significa 4xb. Extender la generalización sobre la base de lo que era correcto en aritmética puede conducir a los alumnos que empiezan con el álgebra a mal interpretar el sentido de los términos algebraicos. Así, se han encontradoestudiantes que interpretan 4p como 42 e incluso como "4 patatas". Ejemplos

Otra convención que los estudiantes parece que no usan en su aritmética escolar elemental es el uso de paréntesis y el orden de las operaciones. Incluso cuando se les introduce al uso de paréntesis en su curso de álgebra, los estudiantes a menudo no consideran que los paréntesis sean necesarios para denotar el orden enque se efectúan las operaciones (Kieran 1979) -el orden de izquierda a derecha en que están escritos los términos específica para esos estudiantes el orden del cálculo. De la misma manera, la jerarquía convencional de las operaciones parece ser un conjunto innecesario de reglas para los estudiantes que comienzan el álgebra. No son sólo las convenciones numéricas lo que crea dificultades a losnovicios en álgebra: tampoco es obvia para ellos la notación que ha de usarse para expresar respuestas algebraicas. Por ejemplo, uno de los ítems del test CSMS (Concepts in Secondary Mathematics and Science), que se pasó a 2820 estudiantes británicos de secundaria, les pedía que determinaran el área del rectángulo que se muestra en la figura 1.


El 42% de los alumnos de 13 años respondieron 5e2,...