EXA_COMPLETO_MAT_2_JUNIO2011

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Matemáticas II
Grado en Ingeniería en Diseño Industrial y Desarrollo del Producto
D.T. de Grado en Ingeniería en Diseño Industrial y Desarrollo del Producto e Ingeniería Mecánica
Grado enIngeniería Química Industrial

PRUEBA 1. CURSO 2010-11 (junio)
EJERCICIO 1.
1. Sean las funciones f (x) = 1

x y g(x) = sen(2x): Se pide:

a) [3.5 puntos] Demostrar que las grá…cas de ambas funciones se cortanen un único punto con
abscisa en el intervalo 0; 4 . Aproximar la abscisa de este punto de corte utilizando el método
de Newton, partiendo de x1 = 0; y realizando sólo una iteración.
b) [3.5 puntos]Siendo h(x) = f (x)
tres.

g(x); obtener el polinomio de MacLaurin de h(x) de grado

2. [3 puntos] Hallar la derivada direccional de f (x; y) = x + ln(x + y) en el punto P (1; 0) en la
dirección delvector v = ( 2; 1). ¿En qué dirección se obtiene el valor mínimo de todas las
derivadas direccionales de f en P (1; 0)?

EJERCICIO 2.
1. [6 puntos] Calcular
es convergente.

Z

1
2

(x + 1) (x

1)

dxy estudiar si la integral impropia

Z

1
0

1
(x + 1) (x

2. [4 puntos] Utilizar el método de Simpson, con n = 4, para aproximar la integral
¿Se podría obtener geométricamente, sin hacer la integral,su valor exacto?

2

Z

1

p

1

1)

dx

x2 dx:

1

EJERCICIO 3.
1. [6 puntos] Sea S el sólido de revolución que se obtiene al girar la región R acotada por las
rectas y = 1; x = 1 y la grá…ca de y =ex ; alrededor de la recta y = 4. Se pide: Calcular el
volumen de S utilizando el método de los discos o el método de las capas.
@z @z
2. [4 puntos] Calcular
y
para la función z = f (x; y) de…nidaimplicítamente por la ecuación
@x @y
p
x + y 2 + sen(xz) = 2; y obtener la ecuación del plano tangente a esta super…cie en el punto
P (1; 1; 0):

EJERCICIO 4.
1. Sea f (x; y) = 2x2

y3

2xy:

a) [3.5puntos] Obtener sus extremos relativos.
b) [6.5 puntos] Obtener los extremos absolutos en el triángulo de vértices A(0; 0); B(1; 0); C(1; 1).

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