EXA_MAT_2_DICIEMBRE_2013 14

Matemáticas II
Grado en Ingeniería en Diseño Industrial y Desarrollo del Producto
D.T. de Grado en Ingeniería en Diseño Industrial y Desarrollo del Producto e Ingeniería Mecánica
Grado en IngenieríaQuímica Industrial

TERCERA CONVOCATORIA.

PRIMERA PARTE. CURSO 2013-14

Tiempo: 2 horas. Se recuerda que todas las respuestas deben estar debidamente razonadas.

EJERCICIO 1.
(A) [3 puntos] Probarque la recta y = 2 x corta a la grá…ca de la función g(x) = 2 ln x en un
único punto cuya abscisa x 2 (1; 2). ¿Es cierto que partiendo del valor x1 = 1 el método de
Newton producirá una sucesiónconvergente a la abscisa del punto de corte? Calcular el valor
de x2 para esa estimación inicial.
2
(B) [5 puntos] Siendo f (x) =
; se pide:
x(1 + x2 )
Z
Z
a) Calcular f (x)dx y estudiar si la integralimpropia

1

f (x)dx es convergente.

1

b) Utilizar el método de los trapecios o el método de Simpson, con n = 2, para aproximar la
Z 3
integral
f (x)dx.
1

(C) [2 puntos] Calcular el polinomio deMaclaurin de grado 3 de la función
h (x) = sen x
2

cos x

EJERCICIO 2.
(A) Siendo g(x; y) = x2 + xy ;

se pide:

a) [2 puntos] Calcular los extremos relativos de g:
b) [3 puntos] Calcular los extremosabsolutos de la función g en la región
R = f(x; y) :

2

x

2;

1

y

1g :

(B) [3 puntos] Sea S el sólido de revolución que se obtiene al girar, alrededor de la recta x = 2, la
región D del plano limitadapor la parábola y = 4 x2 ; y las rectas y = 3x, x = 2:
Dibujar la región D y expresar el volumen de S mediante integrales utilizando el método de los
discos o el método de las capas.
(C) [2 puntos]La ecuación x2 + 2y 2 + 3z 2 + xy z 9 = 0 determina una función diferenciable
z = f (x; y). Obtener la ecuación del plano tangente a la super…cie en el punto P (1; 2; 1).

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Grado enIngeniería en Diseño Industrial y Desarrollo del Producto
D.T. de Grado en Ingeniería en Diseño Industrial y Desarrollo del Producto e Ingeniería Mecánica
Grado en Ingeniería Química Industrial

TERCERA...