exactas

´ DE MATEMATICAS
´
AMPLIACION
Antonio Baeza Salas

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Ampliaci´on de Matem´aticas

´Indice general
1. Introducci´
on.
1.1. Definiciones y terminolog´ıa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1. Soluci´on general. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2. Sistemas de ecuaciones diferenciales. . . . . . . . . . .
1.1.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.Problemas de valor inicial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1. Problemas de valor inicial de primero y segundo orden.
1.2.2. Existencia y unicidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Las E.D. como modelos matem´aticos. . . . . . . . . . . . . .
1.3.1. Crecimiento y decaimiento. . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2. Diseminaci´on de una enfermedad. . . . . . . . . . . . .
1.3.3.Ley de Newton del enfriamiento. . . . . . . . . . . . .
1.3.4. Mezclado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.5. Vaciado de un tanque. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.6. Ca´ıda libre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4. Practica con Mathematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1. Definici´on de funciones. . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2.Derivadas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.4. Resoluci´on de ecuaciones diferenciales. . . . . . . . . .
1.4.5. Ecuaciones con condiciones iniciales. . . . . . . . . . .
1.4.6. Gr´aficos bidimensionales. El comando Plot. . . . . . .
1.4.7. Representaci´on gr´afica de la soluci´on de una ecuaci´on
diferencial.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2. E.D.O. Primer Orden
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2.1. Integraci´on directa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2. Variables separables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.1. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
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Ampliaci´on deMatem´aticas
2.3. Ecuaciones exactas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3.1. M´etodo de soluci´on para ecuaciones diferenciales exactas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3.2. Ecuaciones reducibles a exactas. Factores integrantes. 36
2.3.3. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.4. Ecuaciones lineales. . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 39
2.4.1. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.5. Soluciones por sustituci´on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.5.1. Ecuaciones homog´eneas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.5.2. La ecuaci´on de Bernoulli. . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.5.3. Reducci´on a separaci´on de variables. . . . . . . . . . . 48
2.5.4. Ejercicios. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.6. Modelado con ecuaciones diferenciales de primer orden. . . . 49
2.6.1. Crecimiento bacteriano. . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.6.2. Periodo medio del plutonio. . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.6.3. Antig¨
uedad de un f´osil. . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.6.4. Ley de Newton del enfriamiento. . . . . . . . . . . . . 53
2.6.5.Mezclas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.6.6. Modelos demogr´aficos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.6.7. Modelo depredador-presa. . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.7. Practica con Mathematica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.7.1. Integrando con Mathematica. . . . . . . . . . . . . . . 59
2.7.2. Representaci´on gr´afica de funciones dadas en formaimpl´ıcita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.7.3. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3. M´
etodos num´
ericos.
3.1. Campos direccionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1. Representaci´on gr´afica de un Campo de Direcciones. .
3.1.2. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Resoluci´on num´erica del...