Examen Algebra I 2014 02 Pauta

Pauta Examen
´
Algebra
I
Segundo semestre 2014

Martes 16 de diciembre, 2014
1. Determine si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Si es verdadera, demu´estrela
y si es falsa, d´e uncontraejemplo.
a) Sean a, b ∈ R talque a < b, entonces a2 < b2 .
Soluci´
on:
La proposici´on es falsa.
Contraejemplo: Basta considerar a = −2 y b = 1, y se tiene que a < b sin embargo
a2 = 4 y b2 = 1y no se satisface la relaci´on a2 < b2 .

b) Sea a ∈ R. Si a > 1, entonces a2 > a.
Soluci´
on:
La proposici´on es verdadera.
Demostraci´on: Sea a ∈ R tal que a > 1. Como 1 > 0 se tiene que a es un n´umero real
positivo, luego
a>1
/·a
a2 > a
´ n:
Criterios de correccio
- Por indicar el valor de verdad y justificar (contraejemplo y demostraci´on, respectivamente): 5 puntos c/u.

1

2. Sea x un n´umero real positivo. Encuentre el conjunto soluci´on de la siguiente inecuaci´on
4 − x2
≤0
x2 − 2x + 1
Soluci´
on:
• Restricciones:

x>0

∧

x2 − 2x + 1 = 0.

Como x2 − 2x + 1 = (x − 1)2 , se tieneque x = 1. As´ı,
x ∈ R+ − {1}
• Soluci´on: La inecuaci´on es equivalente a
4 − x2
≤0
(x − 1)2
Como (x − 1)2 ≥ 0, basta con resolver
4 − x2 ≤ 0

⇔

x2 − 4 ≥ 0

A partir de la factorizaci´on (x − 2)(x +2) ≥ 0 y utilizando tabla de signos se tiene
] − ∞, −2[ ] − 2, 2[ ]2, ∞ + [
x−2
−
−
+
x+2
−
+
+
2
x −4
+
−
+
Luego, x ∈] − ∞, −2] ∪ [2, ∞ + [.
Finalmente, considerando la restricci´on se tiene que elconjunto soluci´on es
S = [2, ∞ + [
´ n:
Criterios de correccio
- Por determinar la restricci´on del denominador: 2 puntos.
- Por considerar la hip´otesis x > 0: 2 puntos.
- Por notar que lainecuaci´on se reduce a x2 − 4 ≥ 0: 2 puntos.
- Por resolver x2 − 4 ≥ 0: 2 puntos.
- Por determinar el conjunto soluci´on: 2 puntos.

2

3. Utilizando el m´etodo de inducci´on, demuestre que para todo n ∈ N setiene que
2 + 4 + 6 + 8 + . . . + 2n = n2 + n
Soluci´
on:
Sea
p(n) : 2 + 4 + 6 + 8 + . . . + 2n = n2 + n
• Si n = 1, se tiene
p(1) : 2 + 4 = 22 + 2
Luego, p(1) es verdadera.
• A continuaci´on,...