Examen ampliacion de calculo

´ ´ AMPLIACION DE CALCULO. 102026. JUNIO DE 2002. PRIMERA SEMANA.
´ ESCUELA TECNICA SUPERIOR DE INGENIEROS INDUSTRIALES INSTRUCCIONES
Las preguntas pueden tener varias respuestas correctas. Cada pregunta, de la 1a a la 7a , con todas las respuestas correctas vale un punto, en otro caso, cero puntos. El problema (no 8) contestado de forma totalmente correcta, vale tres puntos. Tache con una cruzlas letras de las respuestas correctas ((a),(b),(c),(d),(e),(f),(g)) o, en su caso, responda sin salirse del rect´ngulo se˜alado. Responda a a n las siete primeras cuestiones en esta cara y desarrolle el problema (no 8) al dorso. Se puede utilizar las unidades did´cticas originales a (Primera Parte, Segunda Parte y Ejercicios de Autocomprobaci´n). No est´ permitido ninguna otra clase de material:libros, apuntes, o a fotocopias . . . . Las unidades did´cticas pueden contener anotaciones manuscritas, en cuyo caso, no pueden prestarse a otro alumno. a

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1. Sean A = (x, y) ∈ R2 : |x| + |y| ≤ 3 , B = [−2, 2] × [−2, 2] y χB la funci´n caracter´ o ısticacorrespondiente a B . Calc´lese u χB (x, y)dxdy. A a) 0 b) xy c) 1 d) 7 e) 14 f) 28 g) 10 h) 15 i) 25 j) π k) Ninguna de las anteriores 2. Sea B el s´lido de R3 (cilindro oblicuo) generado al trasladar el c´ o ırculo x2 + y 2 ≤ 9, z = 0 a lo largo del segmento x = y = z, 0 ≤ z ≤ 2. Calc´lese u
B

xydxdydz.

3. Calc´lese el valor absoluto de la integral de superficie de la funci´n vectorial u o F (x, y, z)= x cos(y 2 ) + cos(cos z), y cos(x2 ) + z 3 , (2 − z)(cos(y 2 ) + cos(x2 )) − z sobre la porci´n de superfice c´nica x2 + y 2 = 9z 2 , 0 ≤ z ≤ 2. Sugerencia: apl´ o o ıquese el Tma de la divergencia.

4. Determ´ ınense los l´ ımites de integraci´n, A, B, C, D (no necesariamente constantes) para que la siguiente igualdad de o √
2
3

2−x

B

D

integrales iteradas sea correcta:
1 (x−2)2f (x, y)dy dx =
A C

f (x, y)dx dy

A=

B=

C=

D=

5. Calc´lese el residuo de la funci´n f (z) = u o

sen (z 2 ) en el punto z = 0. z 11

6. Sea f : C → C acotada y meromorfa en el c´ ırculo |z| < 2; y sea γ(t) = eit , 0 ≤ t ≤ 2π. Se puede asegurar que: a) La integral γ f (z)dz existe b) La integral γ f (z)dz existe y su valor es 2πi. c) La integral γ f (z)dz existe y suvalor es cero. d) Ninguna de las anteriores. 7. Sea f una funci´n compleja definida en un abierto A de C. Se˜ale las proposiciones verdaderas. o n a) f continua en A ⇒ f derivable en A b) f derivable en A ⇒ f continua en A c) f derivable en A ⇒ f continua en A d) f derivable en A ⇒ f derivable en A e) f derivable en A ⇒ f anal´ ıtica en A f) f anal´ ıtica en A ⇒ existe una primitiva de f en A z 18 . −1a) Determ´ ınese la serie de Laurent de f en el punto del infinito. (1’5 puntos) b) Calc´lese el valor de la integral γ f (z)dz, en donde γ(t) = 2eit , 0 ≤ t ≤ 2π. (1’5 puntos) u 8. Sea f la funci´n compleja de variable compleja definida por f (z) = o z 19

´ ´ AMPLIACION DE CALCULO. JUNIO DE 2002. PRIMERA SEMANA.

1. Soluci´n e). Sea D un rect´ngulo cualquiera que contenga a los conjuntos A yB. Entonces o a χB (x, y)dxdy = = D χB (x, y)χA (x, y)dxdy = D χB∩A (x, y)dxdy = ´rea(B ∩ A) = 16 − 4 · 1 = 14 a 2 A Obs´rvese que A es el cuadrado de v´rtices (3, 0), (0, 3), (−3, 0), (3, 0). e e 2. Soluci´n 24π. El c´ o ırculo del enunciado se parametriza por x = ρ cos θ, y = ρ sen θ, z = 0, con 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ ρ ≤ 3. Por lo tanto, si D es el paralelep´ ıpedo 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ ρ ≤ 3, 0 ≤ t ≤ 2 yg(θ, ρ, t) = (t + ρ cos θ, t + ρ sen θ, t), entonces B = g(D). Aplicando el teorema de cambio de variable, resulta xydxdydz = D (t + ρ cos θ)(t + ρ sen θ)Jg(θ, ρ, t)dθdρdt = B =
D

(t2 + tρ cos θ + tρ sen θ + ρ2 cos θ sen θ)ρdθdρdt =

2π 0

3 2 2 t ρdθdρdt 0 0

= (2π)[ ρ ]3 [ t3 ]2 = 24π. 0 2 0

2

3

3. Soluci´n 48π. Sean C la superficie c´nica del enunciado, D el c´ o o ırculo x2...