examen ampliacion matematicas

SOLUCIONES DE EJERCICIOS RELACIÓN I
1. De los siguientes campos comprueba los que son conservativos, y en tal caso
calcula la función potencial:
a) ( ) ( 2 ) F(x, y) = 2x - 3y i - 3 x - y j


b) ( ) 2 x y F(x, y) = xe 2yi + x j



c)
2 2
xi yj
F(x, y)
x y
= +
+



d) x ( ) F(x, y) = e cos yi - seny j



e) x ( ) F(x, y,z) = e yzi + z j+ yk




f) 2 3 4 F(x, y,z) = x yzi+ xy z j+ xyz k




g) ( 2 2 ) ( ) ( z ) F(x, y,z) = 4x + y + z i + 2xy - seny j + 2xz - e k




Solución:
a) y
x
M 3
N 3
= - 

= - 
Luego es conservativo. Para calcular lafunción potencial:
( )
( )
2
x
2 2 3
y
2 3
f 2x 3y f (x, y) 2x 3y dx x 3xy A
f 3x 3y f (x, y) 3x 3y dy 3xy y B
Con lo cual f (x, y) x 3xy y C Función potencial
= -  = - = - +   
 
= - + = - + = - + + 
= - + +
∫
∫
b)
( )
( )
2
2
x y 3
y
x y 3
x
M e 2x 2x y
N e 2x 2x y
= + 

 = + 
Luego es conservativo. Para calcular la función potencial:
( )
( )
2 2
2
22 2
2
x y x y
x y
x
2 x y 2 x y x y
y
x y
f (x, y) 2xye dx e A
f 2xye
f x e f (x, y) x e dy e B
Con lo cual f (x, y) e C Función potencial
 =  = = +   
 
=  = = + 
= +
∫
∫c)
( )
( )
y 2
2 2
x 2
2 2
2xy
M
x y
2xy
N
x y
-  = 
+ 

= -  + 
Luego es conservativo. Para calcular la función potencial:
( )
( )
( )
2 2
x 2 2 2 2
2 2
y 2 2 2 22 2 2 2
x x 1
f f (x, y) dx Ln x y A
x y x y 2
y y 1 f f (x, y) dy Ln x y B
x y x y 2
1
Con lo cual f (x, y) Ln x y C Ln x y C Función potencial
2
    =  =   = + +  +   +  
 =     +  =   = + +    +  
= + + = + +
∫
∫
2
d)
x
y
x
x
M e seny
N e seny
 = - 

= - 
Luego es conservativo. Para calcular la función potencial:
( )
( )
x x x
xx x x
y
x
f e cos y f (x, y) e cos y dx e cos y A
f e seny f (x, y) e seny dy e cos y B
Con lo cual f (x, y) e cos y C Función potencial
=  = = +   
 
= -  = - = + 
= +
∫
∫...