Examen Calculo Resuelto

EXAMEN ORDINARIO FEBRERO 2011 CÁLCULO - 1o GRADO INFORMÁTICA 7 de febrero de 2011

Atención: Utiliza boligrafo negro o azul. Responde de forma razonada a todas las preguntas e indica que teoremas o criterios utilizas. Primera parte (ejercicios 1, 2, 3 y 4). Segunda parte (ejercicios 5, 6 y 7). Cada alumno/a hará sólo la parte que no tenga aprobada. Ánimo y suerte. 1. (1 punto) Demuestra que, paratodos los naturales, se verifica la igualdad 13 + 23 + 33 + ... + n3 = (a) Sea Pn ≡ 13 + 23 + 33 + ... + n3 = n2 (n + 1)2 4

n2 (n + 1)2 la propiedad que queremos demostrar para todos los 4 naturales. Definimos el conjunto A = {n ∈ N : Pn es cierta}, que claramente verifica que A ⊂ N. Tenemos que demostrar que A = N. Para ello, comprobaremos que A es inductivo. En efecto:
2 2

i) Para n = 1, elprimer miembro de la propiedad es 13 = 1 y, el segundo miembro es 1 (1+1) = 1. 4 Por tanto, 1 verifica la propiedad, es decir, 1 ∈ A. ii) Supongamos que para un natural arbitrario mayor que 1, se tiene que n ∈ A, es decir, 13 + 23 + 33 + ... + n3 = Tenemos que demostrar que n + 1 ∈ A, es decir, que 13 + 23 + 33 + ... + n3 + (n + 1)3 = En efecto, 13 + 23 + 33 + ... + n3 + (n + 1)3 =
(H.I.)

n2 (n + 1)24

(H.I.)

(n + 1)2 (n + 2)2 4

=

n2 (n + 1)2 + (n + 1)3 = 4

n2 (n + 1)2 + 4(n + 1)3 (n + 1)2 [n2 + 4(n + 1)] = = 4 4 = (n + 1)2 (n + 2)2 (n + 1)2 [n2 + 4n + 4] = . 4 4

Por tanto, n + 1 ∈ A. i) y ii) nos dicen que A es inductivo. Teniendo en cuenta que A ⊂ N, el Principio de Inducción garantiza que A = N, es decir, que la propiedad es cierta para todos los naturales, como queríamos demostrar.2. (1 punto) Demuestra que la ecuación 4x3 + 3x2 + 2x + 1 = 0 tiene una única raiz real. Sea f : R → R la función definida por f (x) = 4x3 + 3x2 + 2x + 1, para todo x ∈ R. Nos piden que demostremos que f tiene una única raiz. La función f es continua y derivable en todo su dominio (R), por tanto, continua y derivable en cualquier subconjunto de R. La derivada de f es f 0 (x) = 12x2 +6x+2. Si hacemosf 0 (x) = 0, se observa que esta ecuación no tiene solución real. Si f 0 no tiene raices, por el Teorema de Rolle, la función f tiene a lo más una solución real. Si, por ejemplo, calculamos la imagen de x = −1 y x = 0, se obtiene que f (−1) < 0 y que f (0) > 0. Por tanto, si restringimos f al intervalo [−1, 0] podemos aplicar el Teorema de Bolzano, que nos garantiza que f tiene al menos unasolución en el intervalo [−1, 0]. Por un lado hemos demostrado que f tiene “como mucho” una solución y, por otro, que al menos tiene una. Podemos concluir que f tiene exactamente una raiz real. 3. (3 puntos) Dada la función f (x) =
1 x2 +x+1 :

1

(a) (2 puntos) Estudia su dominio, signo, puntos de corte con los ejes, monotonía, extremos relativos y asíntotas. Representa de forma aproximada dichafunción. • Dominio. x2 + x + 1 6= 0, para todo x ∈ R, por tanto, Domf = R. • Signo. Si x2 + x + 1 6= 0, para todo x ∈ R, se tiene que x2 + x + 1 > 0 o x2 + x + 1 < 0, para todo x ∈ R. Evaluando, por ejemplo, en x = 0, se observa que toma valor positivo, por tanto, teniendo en cuenta que f es una función racional y que numerador y denominador son positivos, se tiene que f (x) > 0, para todo x ∈ R. •Puntos de corte con los ejes. f (x) 6= 0, para todo x ∈ R, por tanto, no hay puntos de corte con el eje X. Por otra parte, f (0) = 1, tenemos el punto de corte (0, 1) con el eje Y . • Monotonía. f es una función racional, por tanto derivable en su dominio. f 0 (x) = (x−2x−1 2 . 2 +x+1) Estudiamos el signo de f 0 para analizar la monotonía. Para ello, obtenemos las raices del numerador y deldenominador. −2x − 1 = 0 si, y sólo si, x = − 1 . Ya habíamos obtenido 2 que x2 + x + 1 6= 0, para todo x ∈ R. Si ponemos en la recta real todas las raices obtenidas (x = − 1 ) y damos valores, se obtiene que f 0 (x) > 0, para todo x ∈] − ∞, − 1 [ y que f 0 (x) < 0, 2 2 para todo x ∈] − 1 , +∞[. Tenemos que f es estrictamente creciente en ] − ∞, − 1 [ y que f es 2 2 estrictamente decreciente en ] − 1 ,...