examen calculo

Abril de 2011
Primer examen
´
Calculo I

Universidad
Industrial de
Santander

Grupo

Facultad de Ciencias
´
Escuela de Matematicas

´
Codigo:

Nombre:
Instrucciones:

Conteste de manera ordenada y apoye sus respuestas con las justi caciones adecuadas.
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Resuelva un punto en cada pagina de su hoja de examen.
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´
No se permite el prestamo de borradores, calculadoras,lapices, etc.
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´
´
El profesor no respondera preguntas, porque parte de la evaluacion es la comprension de los enunciados.
Todos los puntos tienen el mismo valor.
´
No se permite el uso de telefonos celulares durante el examen.

1.
2.

´
´
´
´
a) Exprese el area de un triangulo equilatero como funcion de la longitud de uno de los lados.
√
4
´
´
b) Exprese la funcion H (x) = sec (x) como la composicion de tres funciones f ◦ g ◦ h.
´
´
a) En la gura se proporciona la gra ca de la funcion f (x).

y

´
´
i) Utilice la gra ca de la funcion f (x) para dibujar la
´ ca de f −1 (x).
gra
´
´
ii) Utilice la gra ca de la funcion f (x) para dibujar la
´
gra ca de y = − 1 f (x) + 3.
2

1
0

1

x

´
´
´
b) ¿Como se relaciona la gra ca de y = g (|x|) con lagra ca de g (x)? Utilice este hecho para gra car y = sen |x| .
3. Responda dos de los siguientes tres items. (Marque claramente cuales items va a responder).
´
´
a) Trace la gra ca de la siguiente funcion y usela para determinar los valores de a para los
´
cuales NO existe l´ f (x) si:
ım
x→ a

f (x) =

2−x
x
(x − 1)2

si
x < −1,
si −1 ≤ x < 1,
si
x ≥ 1.

´
´
b) Trace la graca de un ejemplo de una funcion f que cumpla con la siguiente condiciones:
dom { f } = [−4, 5], l´ + f (x) = 4, l´ − f (x) = 2, l´ f (x) = 3, f (3) = 3, f (−2) = 1.
ım
ım
ım
x→ 3

c ) Evalue el l´mite, si existe.
´
ı

1
h→0 h
l´
ım

x→ 3

√

1
−1 .
1+h

x→−2

´
4. Se sabe que en condiciones ideales cierta poblacion de bacterias se duplica cada hora. Suponga que alprincipio hay 500 bacterias.
´
´
´
a) Establezca una expresion para la poblacion de bacterias despues de t horas.
´
´
´
b) ¿Cuando la poblacion alcanzara 80000 bacterias?

Soluci´n del primer examen de C´lculo I (Primer semestre de 2011)
o
a
1.

´
´
´
´
a) Exprese el area de un triangulo equilatero como funcion de la longitud de uno de los lados.
Denote el lado con una variable,por ejemplo x.
´
´
Ahora, el area de un triangulo se calcula como
A=

(base) × (altura)
x·h
=
.
2
2
x

´
Por el teorema de Pitagoras se tiene que
x2
,
2
´
escribiendo h en funcion de x, se obtiene
x2 = h2 +

h

x

x

√
3
x2
32
2
2
x−
= h =⇒ x = h =⇒
x=h
2
4
2
´
´
(dado que x es una distancia, solo se considera la solucion positiva).
Reemplazando el valorde h, se tiene que
√
√
x · 23 x
32
=
x.
A (x) =
2
4
2

√
´
´
b) Exprese la funcion H (x) = sec4 ( x) como la composicion de tres funciones f ◦ g ◦ h.
Observe que
√4
√
H (x) = sec4 x = sec x .
√
´
Por tanto, se ve que la funcion h (x) = x.
√
´
La funcion g (h (x)) = sec ( x) =, es decir, g (x) = sec x.
√4
´
La funcion f (g (h (x))) = (g (h (x)))4 = (sec ( x)) , es decir,f (x) = x4 .
´
Existen otras formas para hace la composicion, por ejemplo:
√
h (x) = x,
g (x) = sec2 x
y
f (x) = x2 .

2.

´
´
a) En la gura se proporciona la gra ca de la funcion f (x).
´
´
´
i) Utilice la gra ca de la funcion f (x) para dibujar la gra ca de f −1 (x).
´
´
La gra ca de la funcion f −1 (x) se puede dibujar haciendo que los puntos (a, b) de la
´
gra ca y = f(x), se re ejen con respecto a la recta y = x, quedando convertidos en
´
´
los puntos de la forma (b, a), como se muestra a continuacion.

y

y
f −1 (x)

1
0

1

f (x)
1

x

0

1

x

´
´
´
ii) Utilice la gra ca de la funcion f (x) para dibujar la gra ca de y = − 1 f (x) + 3.
2
´
´
La gra ca de la funcion que se solicita, se obtiene siguiendo los siguiente pasos:...