examen CEMM

1er Ciència i Enginyeria de Materials

NOM:

Avaluable

29/10/14
Si
No

1. Un escenògraf ha dissenyat una escena d'un videoclip on el cantant ha de passejar per sota un milè
d'esferes massisses de 10 cm de diàmetre. Perquè les esferes sembli que surin a l'aire, s'ha de
suspendre de fibres de vidre de 0.5 mm de diàmetre. Aquests fibres tenen un exponent de
creixement lent d'esquerdesde 4.
El primer intent es va fer amb esferes d'alumini (amb una densitat de 2700 kg/m 3). El resultat ha
estat la caiguda d'esferes a les 7, 11, 14, 18 i 23 h després de la instal·lació.
El productor del videoclip, us demana que seleccioneu el material més econòmic per a fer les
esferes, de manera que no en caigui cap en els 2 dies que fan falta des de la instal·lació fins a
l'acabament de lagravació. Tingueu en compte que la caiguda d'una esfera sobre el cantant es
considera un esdeveniment crític.
Família de material (acer, HDPE, ciment,...)

Cap

Densitat (kg/m3)

142,7

F m⋅g ρ⋅V⋅g
σ= =
=
=
A π⋅r 2 π⋅r 2

Calculem la tensió a que està sotmès el fil:

σ=

4
ρ⋅ ⋅π⋅R3⋅g
4⋅ρ⋅R3⋅g
3
=
π⋅r 2
3⋅r 2

4⋅2700⋅0,053⋅9,81
= 70,632 MPa
2
3⋅0,25

Com és unvidre que està sotmès a creixement lent d'esquerdes, busquem la tensió de ruptura

√
n

equivalent a un temps fix. Concretament al temps en servei (48 h). σ 48=σ ⋅
i
Ordenem les tensions i generem les probabilitats de fractura: Pf =

n
n
=
N +1 6

√

ti
n t
=70,632⋅ i
t 48
48

Calculem Ln() i Ln[-Ln(1-Pf)], i en fem la recta de regressió.
48 (MPa)

n

Pf

Ln[-Ln(1-Pf)]Ln(48) (MPa)

43,64814
48,86967
51,90667
55,27253
58,76560

1
2
3
4
5

0,16667
0,33333
0,50000
0,66667
0,83333

-1,70198
-0,90272
-0,36651
0,09405
0,58320

3,77616
3,88916
3,94945
4,01228
4,07356

m = 7,72647
B = -30,902
R = 0,99942

Com volem que la probabilitat de que caigui alguna bola sigui com un cas crític (P f ≤ 10-6) i
sabent que la probabilitat desupervivència del conjunt és el producte la de cada element:
1000
1000
−6
 Pf =1− Ps =1− √1−Pf =1− √1−10
= 10-9
Ps=1−Pf =1−10−6=P1000
s
Calculem la tensió màxima amb: ln [−ln (1−P f )]=m⋅ln(σ)+ B
bola

i obtenim que:

ln(σ)=

bola

bola

ln [−ln(1−P f )]−B ln[−ln(1−10−9 )]−(−30,902)
=
= 1,3173851885
m
7,72647

Calculem la tensió  = e1,3173851885 = 3,73365 MPa
Trobem ladensitat màxima a partir de: σ=

ρ=

4⋅ρ⋅R3⋅g
3⋅r 2

3⋅r 2⋅σ 3⋅0,252⋅3,73365
= 142,7 kg/m3
=
3
3
4⋅R ⋅g
4⋅0,05 ⋅9,81

Només les escumes polimèriques i el suro tenen aquesta
densitat, però no tenen prou resistència  Cap material és
possible.

1er Ciència i Enginyeria de Materials

NOM:

29/10/14
Si
No

Avaluable

2. Es vol desenvolupar un diposit inflable esfèric percontenir heli pur a 1,1 Bar de pressió i a
temperatura ambient (20 ºC). Per abaratir costos s'opta per agafar una làmina de polímer (LDPE)
amb un revestiment d'alumini. Per qüestions de flotabilitat i de poder inflar el diposit, no es pot
fer servir més de 1 kg de material per m2 de làmina.
El gerent us demana quin gruix cal fer servir de LDPE i alumini, i si el revestiment d'alumini s'ha
deposar a la cara interior o exterior per a minimitzar les pèrdues de gas.
Material

E (GPa)

 (kg/m3)

LDPE

920

Al

0,2

2700

72

D0 He (m2/s) *

r (MPa)
9

3,19·10

65

2,3·10

Q

-9

He

(kJ/mol) *
23,6

-7

81
* Nota: Valors ficticis

Gruix de LDPE (mm):
Gruix d'alumini (mm)

0

0.370

Alumini a la cara

Pèrdues (g/m2 dia):

■ Interior■ Exterior

3.52·10 -11 g/m2·d

Les pèrdues de gas seran degudes al flux d'heli que travessi la membrana. Com per travessar la
membrana cal travessar el polímer i l'alumini, el flux que travessarà el polímer serà el mateix que
travessi l'alumini: JPol = JAl
i el valor absolut del flux per cada capa serà:

ΔC
J i=Di⋅ i
ti

Òbviament a major gruix de material menor flux. Per tant...