Examen Corregido Matematicas2
Páginas: 5 (1227 palabras)
Publicado: 19 de mayo de 2015
MATEMÁTICAS II
OPCIÓN A
EJERCICIO 1: Una ventana normanda consiste en un rectángulo coronado con un semicírculo. De entre todas las ventanas normandas de perímetro 10 m, halla las dimensiones del marco de la de área máxima.
Solución:
y
x
El área del rectángulo es base por altura. Como hemos llamado a la base "x" y a la altura "y" entonces:
Área delrectángulo = x y
El área del semicírculo es siendo . Por tanto:
Área del semicírculo =
En consecuencia, el área de la ventana será:
Área ventana =
Dado que el perímetro de la ventana es:
Perímetro ventana =
Sabiendo que el perímetro ha de ser igual a 10 m, obtenemos:
Despejando:
Queremos buscar la ventana de área máxima y perímetro 10 y, para ello, tendremos que maximizar la función área dela ventana (Av). Como ésta estaba en función de las variables x e y, sustituiremos el valor de y tendremos la función Av dependiente sólo de la variable x.
Derivando respecto de x e igualando a cero:
Obtenemos ahora la segunda derivada y comprobamos el signo:
La segunda derivada, independientemente del valor de x, será siempre negativa. En consecuencia, podemos decir que obtenemos laventana de máxima área para .
Las dimensiones del marco serán por tanto:
Calculemos ahora el radio y el perímetro de la semicircunferencia:
EJERCICIO 2: Calcula el valor de b > 0, sabiendo que el área de la región comprendida entre la curva y la recta es de unidades cuadradas.
Solución:
La recta , al ser b > 0, se encuentra en el primer cuadrante y pasa por el punto (0, 0). La curva esuna parábola que no toma valores negativos.
Veamos donde se cortan:
El área es 4/3 u.c. Por tanto:
Obtenemos la siguiente ecuación:
u.l.= unidades de longitud.
EJERCICIO 3: Considera las matrices
a) ¿Hay algún valor de para el que A no tienen inversa?
b) Para , resuelve la ecuación matricial
Solución:
Apartado a).
Sabemos que si el determinante de la matriz A es nulo, lamatriz no admite inversa. Entonces, veamos para que valores de el determinante es cero.
Esta ecuación no tiene solución real para luego esta matriz tendrá inversa para cualquier valor de .
Apartado b).
Para resolver la ecuación despejaremos X:
En consecuencia, para obtenemos:
Calculemos la inversa de esta matriz.
Matriz adjunta:
Por tanto:
Como
EJERCICIO 4: Dados los puntos A(1, 0,0), B(0, 0, 1) y P(1, -1, 1) y la recta r definida por .
a) Halla los puntos de la recta r cuya distancia al punto P es de 3 unidades.
b) Calcula el área del triángulo ABP.
Solución:
Apartado a).
Sea X un punto cualquiera de la recta r. Sabemos que la distancia
Considerando la recta r y haciendo tendremos y z = 0. Por tanto, el punto será
Dado que la
Elevando ambos miembros alcuadrado tenemos:
Por tanto, obtenemos dos puntos:
Para
Apartado b).
Área del triángulo =
El área del triángulo será: unidades de superficie.
MATEMÁTICAS II
OPCIÓN B
EJERCICIO 1: Sea la función definida por:
donde ln denota la función logaritmo neperiano.
a) Calcula los valores de a y b para que f sea derivable en el intervalo
b) Para a = 0 y halla los extremosabsolutos de f (abscisas donde se obtienen y valores que alcanzan).
Solución:
Apartado a).
Para que la función sea derivable tiene que ser continua en y en . Veamos que tiene que ocurrir para que la función sea continua en x = 2.
Para que f sea una función continua en x = 2 debe cumplirse:
Por tanto,
con lo que obtenemos una primera relación entre a y b.
Por otro lado, como f ha deser derivable en todo el intervalo y lo es en los intervalos y obtenemos:
Nos resta ver que condiciones se tienen que cumplir para que la función sea derivable en el punto x = 2.
Como
con lo que obtenemos la segunda relación que además nos proporciona el valor de b.
Calculemos el valor de a:
Apartado b).
Para a = 0 y , la función queda de la siguiente manera:
siendo la función...
OPCIÓN A
EJERCICIO 1: Una ventana normanda consiste en un rectángulo coronado con un semicírculo. De entre todas las ventanas normandas de perímetro 10 m, halla las dimensiones del marco de la de área máxima.
Solución:
y
x
El área del rectángulo es base por altura. Como hemos llamado a la base "x" y a la altura "y" entonces:
Área delrectángulo = x y
El área del semicírculo es siendo . Por tanto:
Área del semicírculo =
En consecuencia, el área de la ventana será:
Área ventana =
Dado que el perímetro de la ventana es:
Perímetro ventana =
Sabiendo que el perímetro ha de ser igual a 10 m, obtenemos:
Despejando:
Queremos buscar la ventana de área máxima y perímetro 10 y, para ello, tendremos que maximizar la función área dela ventana (Av). Como ésta estaba en función de las variables x e y, sustituiremos el valor de y tendremos la función Av dependiente sólo de la variable x.
Derivando respecto de x e igualando a cero:
Obtenemos ahora la segunda derivada y comprobamos el signo:
La segunda derivada, independientemente del valor de x, será siempre negativa. En consecuencia, podemos decir que obtenemos laventana de máxima área para .
Las dimensiones del marco serán por tanto:
Calculemos ahora el radio y el perímetro de la semicircunferencia:
EJERCICIO 2: Calcula el valor de b > 0, sabiendo que el área de la región comprendida entre la curva y la recta es de unidades cuadradas.
Solución:
La recta , al ser b > 0, se encuentra en el primer cuadrante y pasa por el punto (0, 0). La curva esuna parábola que no toma valores negativos.
Veamos donde se cortan:
El área es 4/3 u.c. Por tanto:
Obtenemos la siguiente ecuación:
u.l.= unidades de longitud.
EJERCICIO 3: Considera las matrices
a) ¿Hay algún valor de para el que A no tienen inversa?
b) Para , resuelve la ecuación matricial
Solución:
Apartado a).
Sabemos que si el determinante de la matriz A es nulo, lamatriz no admite inversa. Entonces, veamos para que valores de el determinante es cero.
Esta ecuación no tiene solución real para luego esta matriz tendrá inversa para cualquier valor de .
Apartado b).
Para resolver la ecuación despejaremos X:
En consecuencia, para obtenemos:
Calculemos la inversa de esta matriz.
Matriz adjunta:
Por tanto:
Como
EJERCICIO 4: Dados los puntos A(1, 0,0), B(0, 0, 1) y P(1, -1, 1) y la recta r definida por .
a) Halla los puntos de la recta r cuya distancia al punto P es de 3 unidades.
b) Calcula el área del triángulo ABP.
Solución:
Apartado a).
Sea X un punto cualquiera de la recta r. Sabemos que la distancia
Considerando la recta r y haciendo tendremos y z = 0. Por tanto, el punto será
Dado que la
Elevando ambos miembros alcuadrado tenemos:
Por tanto, obtenemos dos puntos:
Para
Apartado b).
Área del triángulo =
El área del triángulo será: unidades de superficie.
MATEMÁTICAS II
OPCIÓN B
EJERCICIO 1: Sea la función definida por:
donde ln denota la función logaritmo neperiano.
a) Calcula los valores de a y b para que f sea derivable en el intervalo
b) Para a = 0 y halla los extremosabsolutos de f (abscisas donde se obtienen y valores que alcanzan).
Solución:
Apartado a).
Para que la función sea derivable tiene que ser continua en y en . Veamos que tiene que ocurrir para que la función sea continua en x = 2.
Para que f sea una función continua en x = 2 debe cumplirse:
Por tanto,
con lo que obtenemos una primera relación entre a y b.
Por otro lado, como f ha deser derivable en todo el intervalo y lo es en los intervalos y obtenemos:
Nos resta ver que condiciones se tienen que cumplir para que la función sea derivable en el punto x = 2.
Como
con lo que obtenemos la segunda relación que además nos proporciona el valor de b.
Calculemos el valor de a:
Apartado b).
Para a = 0 y , la función queda de la siguiente manera:
siendo la función...
Leer documento completo
Regístrate para leer el documento completo.