examen de calculo resuelto

UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA
FACULTAD DE INGENIERIA
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
CLAVE DE EXAMEN

CURSO:

Matemática Básica 2

SEMESTRE:

Segundo

FECHA:

19 / 9 / 2007

HORARIO:

14:50 – 16:30

SECCIONES EVALUADAS:

PyQ

CODIGO DEL CURSO:

103

TIPO DE EXAMEN

Segundo Parcial

FECHA DE ENTREGA

01 / 10 / 2007

(f)__________________________________
Aux. Werner Asdrúbal Arriola M.UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA.
FACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA DE CIENCIAS, DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
ÁREA DE MATEMÁTICA BÁSICA 2
SEGUNDO EXAMEN PARCIAL
Carné________________ Nombre: ___________________________________
Instrucciones: A continuación aparecen una serie de problemas, resuélvalos en el
cuadernillo de trabajo. Al terminar el examen entregue la hoja de problemas dentro delcuadernillo de trabajo. El tiempo de l prueba es de 100 minutos.
PROBLEMA 1 (10 PUNTOS)
Encuentre el límite si es posible:

Limx→-∞ [3x+ √(9x2-x)]
PROBLEMA 2 (25 PUNTOS)
La sección transversal de un tanque de 5 metros de largo es un triángulo
equilátero de 4 metros por lado con vértice hacia abajo, el agua fluye al tanque a un ritmo de
1 metro por minuto. ¿Con qué rapidez aumenta el nivel del agua cuandoesta tiene un metro
de profundidad?
PROBLEMA 3 (25 PUNTOS)
Un sólido se forma juntando dos hemisferios a los extremos de un cilindro
circular recto. El volumen total del sólido es de 12 cm³. Encontrar el radio del cilindro que
produce el área superficial mínima.
PROBLEMA 4 (20 PUNTOS)
Encuentre una ecuación de la recta tangente a la gráfica x²y² - 9x² - 4y²= 0 en el
punto (-4, 2 3).
PROBLEMA 5 (20PUNTOS)
Dibuje la gráfica de una función f que tenga las características indicadas.
f(0) = f(6) = 0
f´(3) = f´(5) = 0
f´(x) > 0 si x < 3, y x > 5; f´(x) < 0 si 3 < x < 5
f"(x) < 0 si x < 3 o x > 4; f"(x) > 0 si 3 < x < 4

PROBLEMA 1

Limx→-∞ [3x+ √ (9x2-x)]
Multiplicamos la expresión por uno a manera de eliminar la raíz, para que nos quede una
diferencia de cuadrados y operamos:
Lim x→-∞ 3x+√(9x²-x) 3x - √(9x² - x)
3x - √ (9x² - x)
= lim x→-∞ (3x)² - √(9x² - x))²
3x - √ (9x² - x)
= lim x→-∞

=

lim x→-∞

(9x² - 9x² + x)
3x - √ (9x² - x)

x
3x-√ (9x²-x)

En el denominador sacamos factor común a 9x²:
Lim x→-∞
x
= lim x→-∞
x
3x - √9x² 1 - x
3x - √9x² 1 - 1
9x²
9x

= lim x→-∞

x
3x - |3x| √1 - 1
9x

Aplicamos valor absoluto para toda x < 0, esto va a ser igual a |3x| = 3x, y obtenemos:
limx→-∞

x
3x - (3x) √1 – 1
9x

= lim x→-∞

x
3x+ 3x √1 - 1
9x

Luego aplicamos factor común en el denominador:
Lim x→-∞

x
(3x) 1 + √1 - 1
9x

Así podemos eliminar x tanto en el numerador como en el denominador;
Lim x→-∞

1
3 1 + √1 - 1
9x

Y por último valuamos:
Lim x→-∞
1
3 1+√1 - 1
9(∞)
Y como sabemos que cualquier número dividido ∞ va a tender a cero, obtenemos lo
siguiente:
Lim x→-∞
1
3 (1+√ (1 –0))
Lim x→-∞

Lim x→-∞

1
3(1 + √1 )
1
(3(2))

= 1
6

Y obtenemos la solución cuando

R//

lim x→-∞ [3x+√(9x²-x)] = 1
6

PROBLEMA 2
Datos:
dV = 1m³
dt
min

Cuando,

h = 1m

4
Para poder encontrar la altura del triángulo
aplicamos el teorema de Pitágoras:
c² = (a² + b²);

4

4

5

equilátero,

En donde despejando b = √ (c² -a²)

4

4

h
4

h = √ (4)² - (2)²
h = 2√3
Como sabemos que el volumen deltanque va a ser igual a V = Área de
triangulo x longitud; donde:
Atriángulo = bh ;
donde: b = base
2
h = altura

4
b
h

4
Y como la base del triángulo es variable, debemos dejarla en términos de
h.
Haciendo relación de triángulos, obtenemos:

b = h
2 2√3
b= h
√3
Como sabemos que la base total va a ser b = 2b, sustituimos en la ecuación de
volumen:
V = 2bh (5)
2
V = 5bh

V = h² (5)
√3
V = 5h²
√3Luego derivamos la ecuación en términos de t:
dV = 10h dh
dt
√3
dt
Y despejamos dh :
dt
dV
dh= dt
dt
10h
√3

Luego sustituimos los datos que nos proporcionan:
dh = (1 m³ / min) = √3
dt
(10(1))
10
(√3)
R//

dh = √3
dt
10

PROBLEMA 3
V = 12 cm³
Volumen total = Volumen cilindro + Volumen
V = rh² + 4 r³
3

r

Sustituimos el volumen total:
12 = rh² + 4 r³
ecuación No. 1
3

h

Área Superficial = S...