Examen de ingreso 1-2012 fcyt umss

PRIMER EXAMEN DE INGRESO 1-2012 ARITMETICA - ALGEBRA FILA 1

1. El número de divisores de 120 es: A) 15 B) 12 C) 16 D) 18 E) Ninguno

SOLUCIÓN (1) Se descompone el número n = 120 en sus factores primos: 120  23  3  5 (2) Se escriben en una primera fila la unidad y las potencias del primer factor primo que es 2, hasta su máxima potencia como aparece en la factorización. (3) En una segundafila multiplicamos esos factores por el segundo factor primo 3. (4) En una tercera y cuarta fila multiplicamos las anteriores filas por el tercer factor primo 5.

1 3 5

2 6

4 12

8 24 40

10 20

15 30 60 120
(5) Se obtiene de esa manera una tabla de divisores de 4 columnas por 4 filas (6) El total de divisores es por tanto 16. (7) La respuesta correcta es C. 2. Juan tiene un monto Mde dinero y realiza dos pagos para cancelar las deudas que tiene. La primera deuda que cancela corresponde al 60 % del monto M; y la segunda deuda que cancela corresponde al 40 % del monto que le queda luego de haber pagado la primera deuda. Con qué porcentaje del monto inicial M se queda ?. A) 30 % SOLUCION (1) La primera cancelación es B) 24 % C) 20 % D) 21 % E) Ninguno

60 M  0, 6M . Lequeda M – 0,60M = 0,40M 100

(2) La segunda cancelación es: 0,40 (0,40M) (3) Luego de la segunda cancelación le queda 0,40M - 0,40 (0,40M) = 0,40M (0,60) (4) el porcentaje del monto inicial que le queda es

100 

M (0, 40)(0, 60) = 24 M

(5) La respuesta correcta es B

3. En el desarrollo del binomio ( x  2 y ) 6 , el valor de la suma s de los coeficientes numéricos verifica A) s = 1 B)s < 0 C) s > 1 D) s = 1 E) Ninguno

SOLUCION: (1) Cuando se desarrolla el binomio, se obtiene una identidad algebraica. (2) Si en dicha identidad hacemos x=1 , y=1 , en el desarrollo del binomio se tiene la suma de los coeficientes numéricos; que por tanto debe ser igual a (1  2(1)) 6 = 1 (3) La suma de los coeficientes numéricos es 1 (4) También se puede desarrollar el binomio y sumar loscoeficientes numéricos obtenidos:

x 6  12 x5 y  60 x 4 y 2  160 x3 y 3  240 x 2 y 4  192 xy 5  64 y 6 1 – 12 + 60 – 160 + 240 – 192 + 64 = 1
(5) La respuesta correcta es D 4. Si  y  son las dos raíces reales distintas de cero, de la ecuación ecuación cuyas raíces son

  y es:  

x 2  mx  n  0 , entonces la

A) nx 2  (m 2  2n) x  n  0 D) nx 2  (m 2  2n) x  1  0

B) nx2  (m 2  2n) x  n  0 E) Ninguno

C) nx 2  (m 2  2n) x  n  0

SOLUCION: (1) Por las propiedades de las raíces en una ecuación de segundo grado se tiene:     m ,   n (2) Por otra parte, la suma de las raíces de la nueva ecuación debe ser : raíces

   ; y el producto de las  

   1     2  2 (3) Como  = ; y (   ) 2  m 2 ; y como  2   2  2  m 2 ; 2 2n    Se tiene, restando miembro a miembro las anteriores igualdades:  2   2 = m 2  2n
(4) Luego la suma de las raíces de la ecuación buscada es (5) Por tanto la nueva ecuación es x 2  (6) La respuesta correcta es C

m 2  2n ; y el producto 1. n

m 2  2n x  1  0 . O también: nx 2  (m 2  2n) x  n  0 n

PRIMER EXAMEN DE INGRESO 1 - 2012 GEOMETRIA Y TRIGONOMETRIA FILA 1 5.-El área de un triángulo isósceles cuyo perímetro es 40 ms y su altura relativa a la base es 10 ms, vale : A) 60 m2 B) 75 m2 C) 108 m2 D) 165 m2 E) Ninguno

SOLUCION: (1) Designando la longitud de los lados iguales por a, la longitud de la base por b; y la longitud de la altura relativa a la base por h, se tiene : a + a + b =40 ; h = 10 . (2) Del Teorema de Pitágoras

a h

b/2

b h 2  ( ) 2 a 2 ; y como b/2 = 20 – a , se tiene: h 2  (20  a) 2  a 2 2
Reemplazando h con su valor 10 , se obtiene que a = 12.5 , b = 15 . (3) Como el área A se obtiene según A  (4) La respuesta correcta es B 6. Se conoce que el valor de un ángulo interior de un polígono regular de n lados es valor de n es: A) 16 B) 14 C) 12 D) 10 E) Ninguno

bh , A = 75 2

5 , entonces el 6

SOLUCION: (1)...