Examen De La Xvii Olimpiada Regional

Nivel I



Problema 1
En cada punto hay que escribir un número del 1 al 12 sin repeticiones, de manera que la suma de los cuatro números de cada una de las seis líneas sea la misma. Ya hay cinco números ubicados (1, 4, 6, 8 y 9 ). Ubica los siete números que faltan.




Problema 2
Encuentra todos los números de 4 cifras distintas que cumplan las siguientes condiciones:
✓ Esmúltiplo de 6
✓ Su primera y tercera cifra son números consecutivos en orden creciente, así como su segunda y cuarta cifra
✓ El número formado por la segunda y cuarta cifra es múltiplo de 3


Problema 3
El cuadrilátero ABCD está formado por 2 triángulos isósceles iguales y el ángulo BAC mide 25º.
¿Cuánto mide cada uno de los ángulos interiores del cuadrilátero?


Problema 4
Un clienterecuerda que todos los dígitos de su clave de acceso de cuatro cifras para un cajero automático son números primos.
Uno de estos dígitos está repetido pero no recuerda cuál es y tampoco recuerda el orden de los dígitos.
¿Cuál es el mayor número de intentos que necesitará hacer para obtener la clave de acceso?


Problema 5
[pic] es un hexágono regular de 24 cm de perímetro.
El trapecio[pic]es rectángulo porque su ángulo[pic]. Calcula el área de la región sombreada.

Soluciones Nivel I

Problema 1
En cada punto hay que escribir un número del 1 al 12 sin repeticiones, de manera que la suma de los cuatro números de cada una de las seis líneas sea la misma. Ya hay cinco números ubicados (1, 4, 6, 8 y 9). Ubica los siete números que faltan.
[pic]
Solución:
Cada número del 1 al12 es sumado en dos líneas, entonces el total de las seis sumas es
[pic] y la suma en cada línea es [pic] .
Empezamos colocando el número que falta en la línea donde hay tres números que es el [pic], quedan por colocar (2, 5, 7, 10, 11, 12).

En la fila donde hay dos que suman 10, faltan 16 que solo lo reunimos con el 5 y 11, el 11 va en la fila donde está el 6, porque si colocamos el 5,faltarían 15 que no podemos sumar con dos de los números restantes.
[pic] [pic] [pic]
Los grandes 10 y 12 van en la línea con el 3 y 1.
Los pequeños 2 y 7 van en la fila que tienen al 6 y 11, de manera que sumen 26

Problema 2
Encuentra todos los números de 4 cifras distintas que cumplan las siguientes condiciones:

✓ Es múltiplo de 6
✓ Su primera y tercera cifra sonnúmeros consecutivos en orden creciente, así como su segunda y cuarta cifra
✓ El número formado por la segunda y cuarta cifra es múltiplo de 3

Solución: en la secuencia de dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, para la 2ª y 4ª cifra necesitamos que además de ser consecutivos en orden creciente, el número formado por ellos sea múltiplo de 3, es decir la suma de esos dígitos sea múltiplo de 3 y comoel número de cuatro cifras también debe ser múltiplo de 3, la suma del otro par también debe ser múltiplo de tres.

Entonces las parejas que se podrán usar son: 1-2, 4-5, 7-8

Como el número debe ser par, en las 2ª y 4ª sólo se podrán usar la 1-2 o 7-8
|1ª |2ª |3ª |4ª |
|4 |1 |5 |2 |
|7 |1 |8 |2 |
|1 |7 |2 |8 |
|4 |7 |5 |8 |Entonces sólo se pueden formar cuatro números de cuatro cifras con las propiedades dadas.
Problema 3
El cuadrilátero ABCD está formado por 2 triángulos isósceles iguales y el ángulo BAC mide 25º.
¿Cuánto mide cada uno de los ángulos interiores del cuadrilátero?

[pic]
Solución

Por ser isósceles los ángulos BAC, ACB, CAD y ACD son iguales y por lo tanto miden 25º, por lo que los ángulos BADy BCD del cuadrilátero miden 50º cada uno. Los otros dos ángulos del cuadrilátero son iguales entonces ABC y ADC cada uno mide 130º.




Problema 4
Un cliente recuerda que todos los dígitos de su clave de acceso de cuatro cifras para un cajero automático son números primos.
Uno de estos dígitos está repetido pero no recuerda cuál es y tampoco recuerda el orden de los dígitos.
¿Cuál es...