examen de matemáticas 1

1
MATEMATICAS I

(ECO)

EXAMEN FINAL (20-1-2014)

APELLIDOS

NOMBRE

DNI

comentado
E1. (0,5p)Dada la recta de ecuación

x y
+ =
1 se pide:
2 4

A) La ecuación de la recta que pasa por (1, – 1) y es paralela a la dada,
expresándola en la forma general Ax + By =
C
B) La ecuación de la recta que pasa por (1, – 1) y es perpendicular a la dada
expresándola en forma explícita=
y mx + b .
A)Para obtener la pendiente de
siendo pues m = −2

x y
+ =
1 operamos: 4 x + 2 y =
8 ;
2 4

y=
−2 x + 4

La recta pedida tendrá la misma pendiente (para ser paralela) y pasará por (1, – 1).
En la forma punto-pendiente: y + 1 =−2( x − 1) que expresada en forma general es:

2x + y =
1
B)La pendiente m ' de la recta pedida debe cumplir la condición de perpendicularidadm.m ' = −1 , de manera que debe ser m ' =

1
2

1
1
3
x + b pase por (1, – 1) : −1 = + b con lo que b = −
2
2
2
1
3
La recta en forma explícita es =
y
x−
2
2

Exigimos ahora que =
y

E2. (0,5p) Teniendo en cuenta las gráficas de las funciones elementales estudiadas y
sus propiedades, dibuja las gráficas de:
A) f=
( x) Ln( x + 2)
B) f −1 ( x) (inversa de la anterior)Indicando en todos los casos los puntos de corte con los ejes coordenados
(Ayuda:

Ln2 ≈ 0,69 )

A)La gráfica de la función logarítmica

y = Lnx

es (debe ser) bien conocida:

Al sustituir x por x+2, la gráfica se desplazará dos unidades a la izquierda:

2
Los puntos de corte con los ejes son
B)Para calcular la inversa de
=
y

x+2=
e

y

o sea:

=
x e −2

(−1,0)

y(0, Ln2)

Ln( x + 2) habremos de despejar la x. Para ello “quitamos logaritmos”:

=
y ex − 2
x + 2 = e y > 0 , las funciones serán inversas para x > −2
y

Nota: Como debe ser

La gráfica de la exponencial

. Cambiando x por y, la inversa es

y = e x es (debe ser) bien conocida:

Al restar dos unidades a la función, la gráfica se desplazará dos unidades hacia abajo:

Lospuntos de corte con los ejes son

(0, −1) y ( Ln2,0)

Nota: Puedes observar que las gráficas de
=
y Ln( x + 2) y su inversa
respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrantes

=
y ex − 2

y = f ( x) definida

E3. (0,5p) Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función

x + Ln(3 − y ) − 1 =0
2

implícitamente por

La recta tangente pedida será

en el puntoy − 2= m( x − 1)

son simétricas

( x, y ) = (1, 2)

siendo

m = y '(1)

(la derivada de la función y(x)

definida implícitamente por la ecuación x + Ln(3 − y ) + 1 =
0
Sin necesidad de despejar la “y”, tal derivada puede obtenerse aplicando la regla de la cadena:
2

−1
y' =
0 , de manera que=
y ' 2 x(3 − y ) . En el punto dado (1, 2) se tiene que: y ' = 2
3− y
La rectatangente pedida es: y − 2= 2( x − 1) . Operando queda y = 2 x
2x +

Nota: En este caso es fácil también despejar la “y” quitando logaritmos:
1− x 2

y ' =−(−2 x)e
E4.

;

Estudiando

e1− x
3− y =

2

;

y= 3 − e1− x

2

;

y '(1) = 2

el

dominio,

los

intervalos

de

crecimiento,

los

1
concavidad/convexidad etc, dibuja la gráfica (1p) de la función f ( x) = 2
x +4
Calcula el área de la región definida por la curva y el eje 0X (0,75p)

extremos,

la

3

El dominio de La función es todo

Lím

Como

x→±∞

 ya que el denominador no se anula

1
= 0 , el eje 0X es asíntota horizontal
x +4
2

El único punto de corte con los ejes es el (0, 1/4)
Nota: Puede verse que
que

f ( x=
) f (− x) con lo que la gráfica serásimétrica respecto del eje 0Y, así como

f ( x) > 0 ∀x

−2 x
y se anula en x = 0
( x + 4) 2
Estudiando el signo de f '( x ) a izquierda y derecha de x = 0 vemos que la función es
creciente en ( −∞,0) y decreciente en (0, +∞) , teniendo un máximo en x = 0 , con
f (0) = 1/ 4
La derivada primera de la función es

f '( x) =

2

La derivada segunda de la función (simplificada) es

f ''( x)...