Examen De Matematicas 2012 Resuelto

OPCIÓN A EJERCICIO 1 (2’5 puntos) Un empresario fabrica camisas y pantalones para jóvenes. Para hacer una camisa se necesitan 2 metros de tela y 5 botones, y para hacer un pantalón hacen falta 3 metros de tela, 2 botones y 1 cremallera. La empresa dispone de 1050 metros de tela, 1250 botones y 300 cremalleras. El beneficio que se obtiene por la venta de una camisa es de 30 euros y el de unpantalón es de 50 euros. Suponiendo que se vende todo lo que se fabrica, calcule el número de camisas y de pantalones que debe confeccionar para obtener el máximo beneficio, y determine este beneficio máximo. Solución Llamamos “x” al número de unidades de camisas. Llamamos “y” al número de unidades de pantalones. Para determinar las inecuaciones y la función Beneficio F(x,y), ponemos un cuadro de dobleentrada que nos lo simplificará. Camisas 2 5 0 30€ Pantalones 3 2 1 50€ Máximo 1050 1250 300 30x + 50y

Tela Botones Cremallera Beneficio

Teniendo en cuenta lo anterior tenemos las siguientes inecuaciones: 2x+3y ≤ 1050; 5x + 2y ≤ 1250; x ≥ 0; 0 ≤ y ≤ 300; La función beneficio es F(x,y) = 30x + 50y Para dibujar la región factible o recinto, de cada inecuación despejamos la incógnita “y” paradibujar la recta correspondiente, y después observando las inecuaciones tendremos la región factible. Inecuaciones : Rectas: 2x+3y ≤ 1050; 5x + 2y ≤ 1250; ; x ≥ 0; 0 ≤ y ≤ 300; y = -2x/3+350; y = -5x/2+625; x = 0; y = 0; y = 300

Dibujamos las rectas

Si nos fijamos en las desigualdades “y ≤ -2x/3+350; y ≤ -5x/2+625; x ≥ 0; y ≥ 0; y ≤ 300”, vemos que el recinto factible, y los vértices A, B, C,D y E de dicha región son:

1

IES Fco Ayala de Granada

Sobrantes de 2012 (Septiembre Modelo ) Solución

Germán-Jesús Rubio Luna

De x = 0 e y = 0, Tenemos el punto de corte A(0,0) De x = 0 e y = 300, Tenemos el punto de corte B(0,300) De y = 300 e y = -2x/3+350, tenemos 300 = -2x/3+350, de donde 2x/3 = 50, luego x = 75, y el punto de corte C(75,300). De y= -2x/3+350 e y = -5x/2+625,tenemos -2x/3+350 = -5x/2+625, de donde -4x+2100 = -15x+3750, luego 11x = 1650, por tanto x = 150 e y = -2(150)/3+350 = 250, y el punto de corte D(150,250). De y = -5x/2+625 e y = 0, tenemos 0 = -5x/2+625, de donde 5x = 1250, luego x = 250, y el punto de corte D(250,0) El recinto tiene por vértices A(0,0), B(0,300), C(75,300), D(150,250) y E(250,0). Consideremos la función F(x,y) = 30x + 50y. ElTeorema Fundamental de la Programación Lineal afirma que la función F alcanza su máximo y mínimo absoluto en la región acotada, y que este extremo debe estar situado en algún vértice del recinto ( o en un segmento, si coincide en dos vértices consecutivos), por lo que evaluamos F en los puntos anteriores: F(0,0) = 30(0) + 50(0) = 0, F(0,300) = 30(0) + 50(300) = 15000, F(75,300) = 30(75) + 50(300) =17250, F(150,250) = 30(150) + 50(250) = 17000, F(250,0) = 30(250) + 50(0) = 7500. Teniendo en cuenta lo anterior vemos que el máximo beneficio de la función F en la región es 17250 (el valor mayor en los vértices) y se alcanza en el punto (75,300). El mayor beneficio es 17250 € y se obtiene elaborando 75 camisas y 300 pantalones. EJERCICIO 2 (2’5 puntos) Determine los valores que han de tomar a yb para que la función -x 2 + ax − 7 si x < 1 sea derivable en R. f(x) =  si x ≥ 1  4x - b Solución
-x 2 + ax − 7 si x < 1 sea Determine los valores que han de tomar a y b para que la función f(x) =  si x ≥ 1  4x - b derivable.

Si una función es derivable sabemos que también es continua. Calcularemos primero la continuidad y después la derivada. La función –x2 + ax - 7 es continua yderivable en R, en particular en (-∞,1). La función 4x + b es continua y derivable en R, (números que anulas el denominador), en particular en x ≥ 1. Estudiamos la continuidad en x = 1. f(x) es continua en x = 1 si f(1) = lim f(x) = lim f(x).
x →1− x →1+

2

IES Fco Ayala de Granada
x →1−

Sobrantes de 2012 (Septiembre Modelo ) Solución
x →1− x →1+

Germán-Jesús Rubio Luna
x →1+

f(1)...