Examen de Microondas resuelto

MICROONDAS

Examen enero 13

M. Baquero, F. Pe˜ aranda y V.E. Boria
n

28.

ENERO 13

28.1.

PROBLEMA 1 (40 p)

Se pretende analizar un filtro (red de 2 accesos) en configuraci´n transversal,
o
basado en la conexi´n en paralelo de dos sub-redes (cada una tambi´n de 2
o
e
accesos). Tal y como se muestra en la figura 1, la primera sub-red es un tramo de
l´
ınea uniforme deadmitancia caracter´
ıstica Yl y longitud el´ctrica θl (θl = β ll =
e
√
ω ll /c , con c = c0 / εr ); mientras que la segunda sub-red est´ formada por un
a
par de l´
ıneas sim´tricas acopladas, cada una de admitancia caracter´
e
ıstica Ya y
longitud el´ctrica θa (θa = β la = ω la /c), con 2 de sus 4 accesos terminados en
e
cortocircuito (ver figura 1).

Figura 1: Filtro en configuraci´ntransversal
o
Para ello, se pide responder a las siguientes cuestiones:
(6 p) a.- Obtener la matriz de admitancias de la primera sub-red (Y linea ) en
funci´n de los par´metros Yl y θl .
o
a
(12 p) b.- Demostrar que los elementos de la matriz de admitancias de la segunda sub-red (Y acoplo ) tienen los siguientes valores:
Y acoplo = −j

Ya
q

cotg θa k cosec θa
k cosec θa cotg θa

dondek = (Yao − Yae ) / (Yao + Yae ) con Yao Yae = Ya2 ; y q =

√

1 − k2.

Ayuda: Haciendo uso de la propiedad de simetr´ se recomienda deducir en
ıa,
primer lugar la matriz de admitancias del par de l´
ıneas sim´tricas acoplae
das, teniendo en cuenta que se comportan como un acoplador direccional
(Yao Yae = Ya2 y εoef = εeef = εr ). Seguidamente, considerar que 2 de los 4
r
r
accesosest´n terminados en cortocircuito.
a

E13-2

ENERO 13

PROBLEMA 1

(10 p) c.- Obtener unas expresiones para los elementos de la matriz de admitancias del filtro (Y filtro ) en funci´n de Yl , θl , Ya , θa , k y q . A continuaci´n,
o
o
deducir unas expresiones que relacionen los par´metros S del filtro (S11 y
a
filtro
filtro
S21 ) con los elementos de la matriz Y filtro (Y11 e Y21 ).
(12p) d.- Para implementar el filtro transversal de la figura 1, se elige un
tramo de l´
ınea de transmisi´n con admitancia caracter´
o
ıstica Yl = (2/3) Y0
y un acoplador direccional de factor k = 0, 5. Si a la frecuencia central
de la banda de paso del filtro (f = f0 ) se escoge que θl (f0 ) = 3π/2 y
θa (f0 ) = π/2, y se pretende que S11 (f0 ) = 0, encontrar los valores que
e
o
deben tenerlas impedancias caracter´
ısticas par (Za ) e impar (Za ) del par
de l´
ıneas sim´tricas acopladas.
e
Datos:
Inversa de una matriz A2×2 :
A=

ab
cd

=⇒

B = (A)−1 =

1
(a d − b c)

d −b
−c a

a) La primera sub-red es un tramo de l´
ınea de transmisi´n uniforme, con admitano
√
cia caracter´
ıstica Yl y longitud el´ctrica θl (θl = β ll = ω ll /c , con c = c0 / εr ).
e
Altratarse pues de una red de 2 accesos sim´trica y rec´
e
ıproca (la red es pasiva,
lineal y con diel´ctrico is´tropo), s´lo ser´ necesario calcular los elementos Y11 e
e
o
o
a
Y21 de la matriz de admitancias de dicha red:
Y11 = Y22 =

I1
V1

Y21 = Y12 =
V2 =0

I2
V1

V2 =0

donde para el c´lculo de ambos elementos de la matriz Y linea , se debe resolver
a
la red bajoconsideraci´n con su segundo acceso terminado en cortocircuito (ver
o
figura 2 en la siguiente p´gina).
a
Observando la figura 2, se concluye que la tensi´n (V ) y la corriente (I ) en una
o
posici´n arbitraria (z ) de la l´
o
ınea de transmisi´n se calculan como sigue:
o
V (z ) = V + e−j β z + V − ej β z

V − =−V +

I (z ) = Yl V + e−j β z − V − ej β z

= −j 2 V + sen (β z )

V − =−V += 2 Yl V + cos (β z )

ENERO 13

PROBLEMA 1

E13-3

Figura 2: L´
ınea de transmisi´n terminada en cortocircuito para calcular Y11 e Y21
o
Por tanto, los valores de I1 , V1 e I2 requeridos para el c´lculo de los par´metros
a
a
Y11 e Y21 , se obtienen particularizando las expresiones anteriores de V (z ) e I (z )
en z = −ll y z = 0 del siguiente modo:
I1 = I (z = −ll ) = 2 Yl V...