examen_recta_plano_2012_1_solucion

EXAMEN TEMA: La recta y el plano en el espacio

1) Determinar la relación que guardan entre si las siguientes rectas (es decir indicar si son
paralelas, se interceptan, se cruzan o se cortan, y sedeberán obtener todos los datos necesarios
para justificar esa respuesta).
L1 : que contiene a los puntos P0 = (2, 4,0)
L2 :

P1 = (1,1,1)

P2 = (−2, −8, 4)

x − 2 2 y − 2 −z − 3
=
=
4
4
2

Respuesta:Obteniendo los elementos principales de la recta 1 (Una de varias opciones
que se pueden presentar al seleccionar otros puntos diferentes) :
P01 = (2, 4, 0)
u1 = P1 − P0 = (1,1,1) − (2, 4, 0) = (−1,−3,1)
Obteniendo los elementos principales de la recta 2:
Cambiando la ecuacion a formato simetrico: L2 :

x − 2 y −1 z + 3
=
=
4
2
−2

P02 = (2,1, −3)
u 2 = (4, 2, −2)
Determinar si las rectas sonparalelas:
u1 × u 2 = (−1, −3,1) × (4, 2, −2) = (4, 2,10)

Como el producto cruz dio un vector no nulo, se puede indicar que las rectas
no son paralelas entre si, por lo tanto las rectas o se cruzan o seinterceptan
para ver en que caso caen, se tiene que calcular la distancia:

d=
d=

( po 2 − po1) • u1 × u 2
u1 × u 2
(0, −3, −3) • (4, 2,10)
120

=
=

((2,1, −3) − (2, 4,0)) • (4, 2,10)
120
0 − 6 − 30120

=

36
120

Como el angulo entre las rectas es diferente de cero grados y la distancia entre ellas
es diferente de cero, por lo tanto podemos concluir que las rectas se cruzan y la
36
distanciaentre ellas es de
unidades:
120

2) Obtener las ecuaciones paramétricas de la recta formada por la intersección de los siguientes
planos (Obtener todos los datos necesarios para justificar esarespuesta).

π 1 : que contiene al punto (0,0,0) y a los vectores u = (0,1, 2) y v = (2,1, 0)
π 2 : −2 x + y + z = 0
Respuesta:

Obteniendo los elementos principales del plano π 1 (N y Po)
N1 = (0,1, 2) x(2,1, 0) = ( −2, 4, −2)
P01 = (0, 0, 0)
Obteniendo los elementos principales del plano π 2 (N y Po)
N1 = ( −2,1,1)
P01 = (0, 0, 0)
Verificando que los planos no sean paralelos, por medio del producto...