Examen y esquema de la solución microeconomia avanzada ii

EXAMEN Y ESQUEMA DE LA SOLUCIÓN MICROECONOMIA AVANZADA II Inés Macho Stadler Código asignatura: 25170 12 de septiembre de 2007 (segunda convocatoria)

PROBLEMA 1 (3,5 puntos) Dos vecinos se plantean comprar una antena parabólica. Aparte del consumo de dicha antena, que denotaremos por G (el bien público), estos individuos consumen un bien privado. Denotaremos el consumo del bien privado delvecino A por xA y el consumo del bien privado de B por xB. La función de utilidad de A es uA (xA, G) = xA + ½ G, y la de B (notar que es algo distinta de la de A) es uB (xB , G) = xB + G. El coste de comprar la antena parabólica es c, c > 0, y está medido en unidades de bien privado. A contribuye gA y B contribuye gB unidades de bien privado a la compra de la antena. Si gA + gB ≥ c se compra laantena y por tanto G = 1. Si gA + gB < c no se compra y G = 0. Finalmente, cada uno de los dos vecinos tiene una dotación inicial del bien privado igual a la unidad, es decir gi + xi ≤ 1 para i = A, B. a) ¿Cuál es la cantidad máxima que A está dispuesto a aportar al bien público? Para cada nivel de aportación de B, ¿cuál sería la contribución óptima de A (en función de c)? (1 punto) b) ¿Cuál es lacantidad máxima que B está dispuesto a aportar al bien público? Para cada nivel de aportación del A, ¿cuál sería la contribución óptima de B (en función de c)? (0.5 puntos) c) Calcula los equilibrios de Nash (en función de c) cuando ambos individuos deciden unilateralmente su contribución. (1 punto) d) ¿Los equilibrios de Nash encontrados en el apartado anterior, son eficientes en el sentido dePareto? Comentar. (0.5 puntos) e) Calcula la solución si B elige antes que A su contribución, y A elige la suya después de observar cuál es la de B. (0.5 puntos) Solución: a) Dada su función de utilidad, lo máximo que A esta dispuesto a portar es ½ ya que la utilidad de A con el bien público es igual a 1 – gA + 1/2 y sin bien público es 1. Si B aporta gB ≥ c entonces A no aporta nada al bien público.Si B aporta gB < c, entonces falta (c – gB) para comprar el bien público. Si c – gB > ½ a A no le interesa aportar lo suficiente y decide gA = 0. Si (c – gB) ≤ ½ entonces podría conseguir la antena, y aporta gA = c – gB. Por tanto, la mejor respuesta de A se puede escribir como gA = 0 si gB ≥ c o si gB < c y c > ½ + gB gA = c – gB si gB < c y gB + ½ ≥ c. b) Lo máximo que esta dispuesto a aportarB es 1. La mejor respuesta de B es (es diferente porque las utilidades son ligeramente distintas): si gA ≥ c o gB = 0 si gA < c y c > 1 + gA gB = c – gA si gA < c y gA + 1 ≥ c. c) Equilibrio de Nash. Hay tres casos (una figura puede ayudar a calcularlos) i) gA = 0, gB = 0 si c > 3/2 ii) gA = max{0, c – gB}, gB ∈ [c – 1/2, 1] si c ∈ (1, 3/2] iii) gA ∈ [0, ½ ], gB = max{0, c – gA} si c ∈ (0, 1] d)Eficiencia de Pareto. Corresponde con buscar el máximo de la utilidad total. Si se provee el bien público ésta es igual a xA + ½ + xB + 1 – c. Si no se provee es: xA + xB En consecuencia, es eficiente que G = 0 si c > 3/2 y es eficiente G = 1 si 3/2 ≥ c, con gA + gB = c. La condición de eficiencia se cumple en cualquier Equilibrio de Nash, luego todos son eficientes (esto se debe a que el bienpúblico es discreto, pero no es cierto cuando el bien público es continuo). e) Si B elige antes que A, tendrá en cuenta que lo máximo que esta dispuesto a aportar A es ½ si ½ sumado a lo que aporte B permite comprar el bien público. Luego B, si c es menor o igual que 3/2, B decidirá de modo que A aporte justo ½, esto es gB = c – ½. En otras palabras, para A aporte algo, siendo esta cantidad gA = c –gB se debe cumplir que gB < c y gB + ½ ≥ c (según sabemos por la función de mejor respuesta calculada en el apartado a). Como B maximiza su utilidad sujeto a la mejor respuesta de A (suponiendo que se provee el bien público), resuelve Máximiza [1 – gB + 1 ] s.a. gA = c – gB gA ≤ ½ La solución es gB = c – 1/2 si c ≤ 3/2, de manera que gA = ½.

PROBLEMA 2 (2 puntos) La función inversa de...