examen
ke 1.5 N / m
k1 3N / m
k3 k 2 4 N / m
m1 2 Ns 2 / m
m4 4 Ns 2 / m
L T v
1 2
mu
2
1
ku 2
2
1
1
m1 u 21 m2 u 2 2
2
2
1
1
1
1
k1u 21 k3u 21 k2 (u2 u1 ) 2 keu 2 2
2
2
2
2
1 2 1
1
1
k1u 1 k3u 21 k2u 21 k2u2u1 keu 2 2
2
2
2
2
T
V
T
V
V
Usando la ecuación de Lagrange.
d dL
dt d u i
i 1, 2
dL 0
dui
Obteniendo las dos ecuaciones de movimiento para el sistema:
m1 u1 u1 (k1 k3 k2 ) u2 (k2 ) 0
m2 u 2 u2 (k2 ke ) u1 (k2 ) 0
Pasando a su forma matricial:
___
__
___ __
M
u K u 0
m1
0
k2 u1 0
0 u1 (k1 k2 k3 )
k2
k 2 k e u2 0
m2
u2
Calculando las frecuencias y modos de vibración por el Método Directo.
__
__
k M 0
k 2 k3
k1 2k2
k2
m1
k 2 ke
0
k2
k1 2k2 m1
k2
0
0
m2
k2
k2 ke m2
0
(k1 2k2 m1 )(k2 ke m2 ) k 2 0Sustituyendo los valores numéricos:
(11 2 )(5.5 4 ) 16 0
60.5 16 44 11 8 2 0
8 2 55 44.5 0
Despejando λ.
a=8, b= -55, c= 44.5
x
b b 2 4ac
2a
55 1601
16
1 0.9367
w1 1 0.9678 rad / s
2 5.9382
w2 2 2.4368 rad / s
Usando la ecuación de eigen valores para encontrar los modos de vibración:
__
__
__
(k M ) A 0
Primer modo de vibración sustituyendo λ1.
__
__
__
( k 1 M ) A 0
11 4
2 0 a1
0.9367
0
0 4 a2
4 5.5
9.127 4 a1 0
4 1.753 a2 0
9.127a1 4a2 0
4a1 1.753a2 0
Proponiendo a a1=1.
9.127(1) 4a2 0
9.127
4
a2 2.28175
a2
1
A
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