examen
UNIDAD 2
Análisis Vectorial
Concepto de vectores
Es un ente matemático como el punto, la recta y el plano. Se representa
mediante un segmento de recta, orientado dentro del espacio euclidiano
tridimensional.
Notación:
.c
o
m
, se lee “vector A”. Se representa por cualquier letra del alfabeto, con una
pequeña flecha en la parte superior de la letra.
También se lerepresenta mediante un par ordenado:
= (x; y)
ic
a
A
x; y: componentes rectangulares del vector
is
Ejemplo:
w
w
w
.F
El vector se representa mediante un par
ordenado:
= (8; 6)
Donde: x = 8 e y = 6
Elementos de un vector
a) Módulo
Es el número de unidades correspondientes a una magnitud que se le
asigna al vector.
A ó | |: módulo del vector “A”.El módulo del vector es 10 unidades.
10
U N F V – C E P R E V I
FÍSICA
b) Dirección
Es la línea de acción de un vector; su orientación respecto del sistema
de coordenadas cartesianas en el plano, se define mediante el ángulo que
forma el vector con el eje x positivo en posición normal.
Tan θ =
Tan θ =
θ = 37°
⇒
c) Sentido
Gráficamente se representa por unacabeza de flecha. Indica hacia que
lado de la dirección (línea de acción) actúa el vector.
Operaciones con vectores
1. Adición de vectores
A
a
= (4; 6); hallar el módulo de: + .
ic
Ejemplo:
Sabiendo que: = (5; 6) y
.c
o
m
Cuando dos o más vectores están representados mediante pares
ordenados, para hallar el vector resultante se suma las componentesrectangulares en los ejes x e y en forma independiente.
= (5; 6) ü
ý+
= (4; 6) þ
= (5+4; 6+6)
= (9; 12)
w
w
w
.F
is
RESOLUCIÓN
Ordenando los vectores:
+
El módulo de la resultante se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras:
2
2
| | = 9 + (12) = 225
Luego: | | = 15
2. Sustracción de vectores
Cuando dos vectores estánrepresentados mediante pares ordenados,
para hallar el vector diferencia se restan las componentes rectangulares de
los vectores minuendo y sustraendo.
Ejemplo:
Sabiendo que:
= (13; 11) y
U N F V – C E P R E V I
= (7; 3); hallar el módulo de:
– .
11
FÍSICA
RESOLUCIÓN
Ordenando los vectores minuendo y sustraendo:
= (13; 11)
= (7; 3)
–
= (13–7; 11–3)= (6; 8)
El módulo del vector diferencia se obtiene aplicando el teorema de
Pitágoras:
| | =
Luego: | | = 10
3. Multiplicación de un vector por un escalar
ic
a
A
.c
o
m
Sea la cantidad vectorial y K la cantidad escalar, entonces K es un
vector paralelo al vector , donde el sentido depende del signo de k. Debo
advertir que K es un número real.
– Si K espositivo, los vectores y K
son paralelos de igual sentido.
– Si K es negativo, los vectores y K
son paralelos de sentidos opuestos.
w
w
w
.F
is
El vector también se puede expresar como un par ordenado:
= (x; y)
Entonces: K
= K(x; y)
K
= (Kx, Ky)
De la última expresión, podemos deducir que si el vector se multiplica por un
escalar, entonces sus coordenadastambién se multiplican por esta cantidad
escalar.
PRIMER EJEMPLO:
Si, = (–6; 9)
Hallar las coordenadas del vector:
RESOLUCIÓN
Producto de un escalar por un vector:
Luego:
12
= (–4; 6)
U N F V – C E P R E V I
FÍSICA
SEGUNDO EJEMPLO
Si: = (4; 6) y = (2; 1)
Hallar:
RESOLUCIÓN
Producto de un escalar por un vector:
= (4; 6) = (2; 3)
3 = 3(2; 1) = (6; 3)
+ 3 = (2+6; 3+3)= (8; 6)
10
4. Método del paralelogramo para sumar dos vectores
w
w
w
.F
is
ic
a
A
.c
o
m
Para sumar dos vectores que tienen el mismo origen, se construye un
paralelogramo, trazando por el extremo de cada vector una paralela al otro.
El módulo del vector suma o resultante se obtiene trazando la diagonal del
paralelogramo desde el origen de los...
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