EXAMEN

XIII CONCURSO DE PRIMAVERA DE MATEMÁTICAS
2ª FASE: Día 25 de abril de 2009
NIVEL III (3º y 4º de E.S.O.)

¡¡¡ Lee detenidamente las instrucciones!!!
Escribe ahora tu nombre y los datos que se te piden en la hoja de respuestas

* No pases la página hasta que se te indique.
* Duración de la prueba: 1 HORA 30 MINUTOS.
* No está permitido el uso de calculadoras, reglas graduadas, ni ningún otroinstrumento de medida.
* Es difícil contestar bien a todas las preguntas en el tiempo indicado. Concéntrate en las que veas más
asequibles. Cuando hayas contestado a esas, inténtalo con las restantes.
* No contestes en ningún caso al azar. Recuerda que es mejor dejar una pregunta en blanco que contestarla
erróneamente:
Cada respuesta correcta te aportará
Cada pregunta que dejes en blanco
Cada respuestaerrónea

5 puntos
2 puntos
0 puntos

* MARCA CON UNA CRUZ (
) EN LA HOJA DE RESPUESTAS LA QUE
CONSIDERES CORRECTA.
* SI TE EQUIVOCAS, ESCRIBE "NO" EN LA EQUIVOCADA Y MARCA LA QUE
CREAS CORRECTA.

CONVOCA:

Facultad de Matemáticas de la U.C.M.
ORGANIZA:

Asociación Matemática “Concurso de Primavera”
COLABORAN:

Universidad Complutense de Madrid
Consejería de Educación de la Comunidad de MadridEducamadrid
www.profes.net (SM) - Grupo ANAYA - El Corte Inglés
Yalos Instruments, S.L. - SAS

1

Dibujamos un cuadrado en el interior de un rectángulo doble de
largo que de ancho siendo esta dimensión el doble que el lado del
cuadrado. ¿Qué porcentaje del área del rectángulo ocupa el
cuadrado?
A) 12,5 %

2

B) 20 %

(3 ) − (3 )
La fracción
(3 ) − (3 )
2009 2

2007 2

2008 2

2006 2

A) 1
3

9
4

D)22,5 %

E) 10 %.

es igual a:

C) 3

D)

9
2

E) 9

2x
x
−
es un número entero. De las siguientes afirmaciones sobre x, ¿cuál
3
6
tiene que ser necesariamente verdadera?

Supón que

A) Es negativo
4

B)

C) 15 %

B) Es par

C) Es múltiplo de 3 D) Es múltiplo de 6 E) Es múltiplo de 12

La figura muestra dos circunferencias tangentes de radios 4 y 9 cm.
¿Cuál es la longitud del segmento AB,tangente a ellas?
A) 5

B) 6

C) 10

B

A

D)12

E) 13
5

Al dividir un número N de 3 cifras entre el número formado por sus dos últimas cifras (en el
mismo orden), se obtiene 30 de cociente y 4 de resto. ¿Cuánto suman las cifras del número N?
A) 13

6

C) 11

Francisco tenía a2 − b2 euros y se gastó
A) a − b

7

B) 12

B) ab − a2

D) 10

E) 9

a
de lo que no gastó. ¿Cuántos euros le quedaron?
b

C) ab −b2

D) a + b

E) a

Ana pinta una habitación en 10 horas y Cati en 7 horas. Trabajando juntas y tomándose una
hora para comer, terminarían el trabajo en t horas. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones satisface
el número t?
⎛ 1 1⎞
⎛ 1 1⎞
⎛ 1 1⎞
⎛ 1 1⎞
A) ⎜ + ⎟ (t + 1) = 1 B) ⎜ + ⎟ t + 1 = 1 C) ⎜ + ⎟ t = 1 D) ⎜ + ⎟ (t − 1) = 1
⎝ 10 7 ⎠
⎝ 10 7 ⎠
⎝ 10 7 ⎠
⎝ 10 7 ⎠
E) (10 + 7) t = 1

8

En la figura delmargen, O es el centro de la circunferencia y el segmento AB mide igual que el
radio de dicha circunferencia.
Si α = 25º, ¿cuánto mide el ángulo β ?
A) 65º
E) 85º

B) 70º

C) 75º

A
D) 80º

B

α

β
O

9

En la figura se observa un cuadrado con un lado tangente a una
circunferencia, siendo los vértices del lado opuesto puntos de esa
circunferencia. Si el lado del cuadrado mide 16 cm, ¿cuánto mideel
radio de la circunferencia?
A) 4

B) 6

2

C) 8

D) 6

E) 10

2

10 Las longitudes, en metros, de los lados de un triángulo son 18, 24 y 30.
¿Cuántos decímetros mide la altura más corta de dicho triángulo?
A) 144
11

B) 150

C) 160

D) 169

E) 180

Para cada entero positivo n, mayor que 2009, generamos el número m = n3 − n. ¿Cuál es el
máximo común divisor de esos infinitos m así formados?
A)2

B) 6

C) 41

D) 49

E) 2009

12 He estudiado los comportamientos alimenticios de una rata durante algunos días y he
observado que:
I: La rata comía como mucho una vez al día, bien por la tarde o bien por la mañana.
II: En total comió 9 veces.
III: Hubo 6 mañanas que no comió.
IV: Hubo 7 tardes que no comió.
¿Cuántos días duró mi estudio?
A) 9
B) 10
C) 11
D) 12
E) Hay una contradicción en
el...