examenez

Hola.
Primero comprobamos que efectivamente sea una elipse.
Como en Ax² + By² + Cx + Dy + E = 0 (ecuación gral. de cualquier cónica)
A ≠ B siendo el signo de A igual que el de B, se trataefectivamente
de una elipse.

x² + 2y² – 2x + 8y + 5 = 0 ............. Sí es elipse.

Ahora se reordena de otra manera:

x² – 2x + 2y² + 8y + 5 = 0

Se trata de buscar cuadrados perfectos, comocuando vemos
a² + 2ab + b², que escribimos (a + b)². Pues aquí lo mismo es.
Primero nos concentramos en la parte de las equis, que ya la
tenemos a un lado por la reordenación anterior. Así, sumamos
+ 1– 1 en el miembro izquierdo, no cambiando la igualdad porque
suma resta la misma cantidad:

x² – 2x + 1 – 1 + 2y² + 8y + 5 = 0

(x – 1 )² – 1 + 2y² + 8y + 5 = 0

Ahora todo lo de y para unlado del signo igual
y todo lo de x para el otro lado:

2y² + 8y + 5 = – (x – 1 )² + 1

Dividimos entre 2. Al menos para mí (cada cual tiene su manera
de trabajar) es más fácil encontrar loscuadrados con el coeficiente
de la incógnita al cuadrado igual a 1:

y² + 4y + (5/2) = – (1/2) (x – 1 )² + (1/2)

y² + 4y = – (1/2) (x – 1 )² + (1/2) – (5/2)

y² + 4y = – (1/2) (x – 1 )² – 2

y² +4y + 4 = – (1/2) (x – 1 )² – 2 + 4

y² + 4y + 4 = – (1/2) (x – 1 )² + 2

(y + 2)² = – (1/2) (x – 1 )² + 2

(1/2) (x – 1 )² + (y + 2)² = 2

Ahora tenemos que maniobrar de suerte que el miembroderecho sea igual a 1.

(x – 1 )². .(y + 2)². . .2
---------- + ----------- = --------
. . .2. . . . .1. . . . . . .1

Se observa que basta con multiplicar por 1/2
cada término para que elmiembro derecho sea un 1.

(x – 1 )². .(y + 2)². . .2
---------- + ----------- = --------
.2². . . . . . 2. . . . . . .2

(x – 1 )². .(y + 2)²
---------- + ----------- = 1
.2². . . . . . 2Observación: No se trata de una elipse centrada en el origen. Es por ello
que debe de haber un error en el enunciado, en el sentido de que querrían
decir que hallemos la ecuación ordinaria, y no la...