examne

Matem´ticas Empresariales
a
GRADO ADE Y DERECHO
´
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EXAMEN (JUNIO 2012)
(Duraci´n: 2 horas)
o

1. (2,5 puntos) Suponiendo que las variables x, y, z son mayores oiguales que cero. Resolver el siguiente sistema lineal:
−x1 + 2x2 + 3x3

=

3

x1 + 3x2 − x3

=

1

x1 + 8x2 + x3

=

5

2. (2,5 puntos) Supongamos que hay unaepidemia en la que cada mes la gente que est´ sana, la gente que est´ enferma y
a
a
la gente que fallece se rige por la recurrencia siguiente:
sn+1

=

en+1

=

mn+1

=sn ,
1
sn +
4
1
sn +
4

1
1
en + mn ,
2
4
3
mn .
4

donde sn representa en n´mero de personas sanas, en el n´mero de enfermos y mn el n´mero de fallecidos en elmes n.
u
u
u
Encontrar el estado estacionario para el proceso de Markov correspondiente.
Nota: Determinar los valores propios y vectores propios de la matriz A asociada a larecurrencia y estudiar el comportamiento de
la matriz An cuando n tiende a infinito.

3. (2,5 puntos) Supongamos que la funci´n de coste de una cierta empresa que fabrica dos tiposde productos viene dada
o
por la expresi´n:
o
F (x, y) = x3 + y 2 − x
Hallar los puntos cr´
ıticos y determinar la naturaleza de estos.
4. (2,5 puntos) Supongamos que unalocalidad tiene una poblaci´n inicial de 3000 habitantes. Sea N (t) la cantidad de
o
habitantes en el instante t en a˜os y sea n la tasa de nacimientos y d la de defunciones.Suponiendo que la variaci´n de la
n
o
poblaci´n se rige por la ecuaci´n
o
o
N (t) = (n − d)N (t).
Determinar la soluci´n de este problema de Cauchy y calcular cual ser´ la poblaci´ndespu´s de 20 a˜os si n = 0, 2 y
o
a
o
e
n
d = 0, 4.

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