Exani

La integral definida se representa por: .
∫ es el signo de integración.
a límite inferior de la integración.
b límite superior de la integración.
f(x) es el integrando o función a integrar.
dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.

Propiedades de la integral definida
1. El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límitesde integración.

2. Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.

3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].

4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales·

5. La integral del producto de una constante poruna función es igual a la constante por la integral de la función.

Regla de Barrow
La regla de Barrow dice que la integral definida de una función continua f(x) en un intervalo cerrado [a, b] es igual a la diferencia entre los valores que toma una función primitiva G(x) de f(x), en los extremos de dicho intervalo.

Teorema fundamental del cálculo
F'(x) = f(x)
El teorema fundamental delcálculo nos indica que la derivación y la integración son operaciones inversas.
Al integrar una función ccontinua y luego derivarla se recupera la función original.

La integral definida. Definición: Dada f(x) una función continua y positiva en el intervalo [a,b]. Se define la integral definida, en el intervalo [a,b], como el área limitada por las rectas x=a, x=b, el eje OX y la gráfica de f(x) y senota

Si f(x) es una función continua y negativa en el intervalo [a,b] entonces se define la integral definida, en el intervalo [a,b], como el valor del área limitada por las rectas x=a, x=b, el eje OX y la gráfica de f(x), cambiado de signo.

La integral definida. Propiedades:
Dada f(x) una función continua y positiva en el intervalo [a ,b]. Entonces se tiene:
i.
ii. Si f(x) esintegrable en el intervalo [a,b] y c[a,b] entonces
iii. Si f y g  son dos funciones integrables en [a,b] entonces

EL TEMA Definicion Integral Definida 7.- Definición de integral definida
Como has visto, hemos definido la integral como un límite.
Vamos a intentar formalizar lo expuesto hasta ahora.
Recuerda que en el apartado anterior hemos definido la norma de una partición.
Larelación entre la norma y el nº de subintervalos que tomemos en una
partición general [a,b] será:
(b-a) / ||∆|| ≤ n
Si la norma tiende a cero, está claro que n (nº de subintervalos en [a,b])
tenderá a infinito. Este es el caso ideal para obtener un valor exacto de la integral.
El caso contrario no siempre es cierto, es decir, el que haya infinitos subintervalos
no implica necesariamenteque la norma tienda a cero. Por ejemplo sea ∆n la partición
del intervalo [0,1] dada de la siguiente manera:
Como ves, los subintervalos tienden a hacerse cada vez más pequeños,
cuando n sea lo suficientemente grande, tenderán a cero, pero ello no evita
que tengamos un subintervalo de ancho 1/2 que en este caso será la norma de la partición ∆n.
Tomemos pues el límite siguiente:
El queexista dicho límite implica que para todo ε > 0, existirá un δ > 0
tal que si:
∆ | < δ |
entonces se cumple
Intuitivamente ésto quiere decir que:
A medida que hago más pequeña la norma, el valor del sumatorio se aproxima cada vez más al límite L.
Ahora estamos en condiciones de dar la definición de Integral definida
Si f(x) está definida en el intervalo [a,b]
(única condiciónimpuesta por Riemann, puesto que ahora la definición de Integral definida
va a ser mucho más amplia que la que dimos para el cálculo del área bajo una curva)
Y existe el límite
(tal y como lo hemos definido arriba)
Entonces f(x) es integrable en el intervalo [a,b]
y lo escribimos
A a y b se le llaman límites inferior y superior de integración.
En la práctica, el cálculo de las integrales...