Exaprueba1_mate2_2011

Matemáticas II
Grado en Ingeniería en Diseño Industrial y Desarrollo del Producto
D.T. de Grado en Ingeniería en Diseño Industrial y Desarrollo del Producto e Ingeniería Mecánica
Grado enIngeniería Química Industrial

PRUEBA 1. CURSO 2010-11
EJERCICIO 1.
1. Sea f (x) = 2x − cos(πx). Se pide:

a) [3 puntos] Polinomio de MacLaurin de f de grado 2.

¶
µ
1
.
b) [3.5 puntos]Demostrar que la ecuación f (x) = 0 tiene una solución en el intervalo 0,
2
Aproximar dicha solución utilizando el Método de Newton partiendo de x1 = 0 e iterando dos
veces.
2. [3.5 puntos]Calcular, en el punto (2, 1, 1), el plano tangente a la superficie z = f (x, y) dada
implícitamente por la ecuación
xz − z 2 − xyz + y 2 = 0.
EJERCICIO 2.
√
1. [5 puntos] Sea R la región delprimer cuadrante acotada por las rectas y = 0, y = 3 x y
la curva x2 + y2 = 9. Calcular el volumen del sólido de revolución que se origina al girar R
alrededor del eje y.
R
2. [3 puntos]Calcular cos4 x sen3 xdx.

3. [2 puntos] Sea f (x, y) una función diferenciable en el punto (x0 , y0 ). Demostrar que el valor
máximo de todas las derivadas direccionales Du f (x0 , y0 ) se obtienecuando u es el vector unitario
que tiene la dirección (y sentido) del vector ∇f (x0 , y0 ).

EJERCICIO 3.
Z π/2 ³
π´ ³
π´
sen 4x +
1. Sea I =
sen 4x −
dx.
4
4
0
a) [3 puntos] Calcular elvalor exacto de I, deduciendo previamente una expresión del integrando
como suma/diferencia de cosenos.
b) [3 puntos] Estimar el valor de I mediante la Regla de los trapecios con n = 4.(Utilizar la
expresión del integrando obtenida antes)
Z ∞
Z
1 − 2x
1 − 2x
dx y estudiar si
dx es convergente.
2. [4 puntos] Calcular
2
2
(x + 2)
0 (x + 2)
EJERCICIO 4.
Sea f (x, y) =

2x
.
x−y

1.[3 puntos] Comprobar que f no tiene extremos relativos.
2. [7 puntos] Calcular los extremos absolutos de f en la región triangular acotada por las rectas
x − y = 1, x = 2, y = 0.