EXPLICACION CONICAS

UNIDAD 4 CONICAS
¿QUÉ SON LAS SECCIONES CÓNICAS?
Las secciones cónicas son curvas que pueden obtenerse a partir de la intersección de un cono circular con un plano que no contenga al vértice del cono.
Las distintas cónicas aparecen dependiendo de la inclinación del plano respecto del eje del cono.






Si el plano es perpendicular a dicho eje produce una circunferencia.
Si se loinclina ligeramente, se obtiene una elipse.
Cuando es paralelo a una generatriz del cono se tiene una parábola.
Si corta a ambas ramas del cono la curva es una hipérbola.
Antes de definir cada una de las superficies cónicas recordaremos algunas características de la recta.



¿CÓMO DETERMINO LA DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS?
Sean P1 y P2 dos puntos cualesquiera en el plano cartesiano, cuyascoordenadas son:
P1(x1, y1)
P2(x2, y2)




Aplicando el teorema de Pitágoras, se obtiene:

Donde “d” es la distancia entre los puntos P1 y P2

ECUACION DE LA RECTA
La pendiente en una recta indica el grado de inclinación de dicha recta con respecto al eje horizontal (eje positivo de las X).
En una recta, la pendiente (m) es siempre constante y se calcula mediante la siguiente ecuación:Se puede obtener la ecuación de la recta a partir de la fórmula de la pendiente (ecuación punto-pendiente):


Esta forma de obtener la ecuación de una recta se suele utilizar cuando se conocen su pendiente y las coordenadas de uno de sus puntos, o cuando se conocen sólo los dos puntos, por lo que también se le llama ecuación de la recta conocidos dos puntos.
Ejemplo:
Escribir La ecuación dela recta que pasa por el punto A(2, −4) y que tiene una pendiente de m=− 1/3.
Solución
Al sustituir los datos en la ecuación, resulta lo siguiente:







¿QUÉ ES UNA CIRCUNFERENCIA?
Una circunferencia es el conjunto de todos los puntos P(x,y) en el plano coordenado que están a determinada distancia fija (r), llamado radio de un punto fijo dado C, llamado centro.




ECUACION DE LACIRCUNFERENCIA
Si las coordenadas del centro son C(h,k) entonces, de acuerdo con la anterior definición, un punto P(x,y) está en una circunferencia de radio (r) si, y sólo si:

Es decir,

Ya que siempre es no positivo, se obtiene una ecuación equivalente si los dos lados se elevan al cuadrado. En conclusión una circunferencia de radio r y centro C(h,k) tiene la ecuación canónica

Donde, hy k representan números reales y como tales pueden ser positivos, cero o negativos.
Si se desarrolla:

y se realiza los siguientes cambios:

Se obtiene otra forma de escribir la ecuación:

Donde el centro es:


Y el radio cumple la relación:


Cuando h=0 y k=0, la forma normal de la ecuación de una circunferencia con centro en el origen es:


¿QUÉ ES UNA PARÁBOLA?
Una parábola esel conjunto de puntos P(x,y) en el plano que son equidistantes a una recta fija L, llamada directriz, y a un punto fijo F, llamado foco.





En la figura la recta que pasa por el foco y es perpendicular a la directriz se llama eje de la parábola. El punto de intersección de la parábola se llama vértice.

ECUACION DE LA PARABOLA
La ecuación de la parábola se puede formular de dos manerasdependiendo el caso.


PARÁBOLA CON VÉRTICE EN EL ORIGEN
Cuando la parábola tiene el vértice en (0,0) o el origen, y está a lo largo del eje x
La ecuación se escribe:

Con foco en , y directriz en
Cuando la parábola tiene el vértice en (0,0) o el origen, y está a lo largo del eje y
La ecuación se escribe:

Con foco en , y directriz en
EJEMPLOS
1. Dada la parábola ,calcular su vértice, su foco y recta directriz.

De la ecuación se puede deducir que:

Entonces,



2. Dada la parábola , calcular su vértice, su foco y la recta directriz.




De la ecuación se puede deducir que:

Entonces,


PARÁBOLA CON VÉRTICE EN (a,b)
Cuando la parábola tiene el vértice en un punto (a,b), diferente al origen y se encuentra a lo largo del eje x.




La...