Explicacion de asintotas

Universidad Tec Milenio: Profesional. Matemáticas I – MA04001.

En la actividad anterior estudiamos las funciones polinomiales; ahora analizaremos las funciones racionales. Una función racional es aquella que tiene la forma

y = f (x) =
MA04001 - Matemáticas I
Actividad 11. Funciones racionales y asíntotas.
Donde y

P (x) Q (x)

P (x)

y

Q ( x ) son polinomios

Q (x) ≠ 0

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El dominio de una función racional será todos los reales, con excepción de aquellos valores de “x” en donde el denominador

Ejemplos: Determina el dominio de las siguientes funciones racionales.

Q (x) = 0
El cual se puede representar como:

1) f ( x ) =

2 x − 3

{x ∈

R Q ( x ) ≠ 0}

Solución: Observa que Q(x)=0 en donde x-3=0, entonces x=3. Por lo tanto el dominio de estafunción es:

{x
3

∈ R x ≠ 3}

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3x 2) f (x) = 2 x + 3
El dominio de esta función se obtiene cuando eliminamos los valores para los cuales Q(x)=0, entonces

Asíntotas verticales
Se obtienen al igualar a cero el denominador; es decir cuando Q(x)=0. Al resolver esta ecuación algebraica se obtienen los valores de “x” donde Q(x)=0. Entonces si analizamos el primer ejemplo, podemos decirque:

x2 + 3 = 0
Al resolver esta ecuación, obtenemos que

x = ±

− 3

Pero este valor, no es real, así que el dominio de esta función es x ∈ R

1) f ( x ) =

{

}

2 x − 3
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Tiene una asíntota vertical en x = 3.
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D.R. © Universidad TecMilenio Lázaro Cárdenas #2610 Col. Del Paseo Residencial Monterrey, N.L., 2007.

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Al dibujar la gráfica de esta función racional podemos observar que la función se corta en x = 3, la asíntota vertical se representa con una línea punteada, tal como se aprecia en la gráfica

Además hay que hacer resaltar que al aproximarnos a 3 por la derecha, la gráfica de la función se va al infinito y cuando nos aproximamos a 3 por la izquierda tiende a menos infinito

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Funciones racionales que pueden ser simplificadas
Puede ocurrir que una función racional se pueda factorizar tal como se presenta en el siguiente ejemplo:

f (x) =

x2 − 9 x − 3

Si factorizamos esta función racional, quedaría expresada como:

f (x) =

x2 − 9 ( x − 3 )( x + 3 ) = x − 3 ( x − 3)
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Eliminando el factor (x-3), la función queda simplificada como f(x)= x+3. Estanueva función no tiene denominador, es decir no hay valores para los cuáles Q(x)=0. De hecho la gráfica de la función f(x)=x+3, es una línea con pendiente positiva, que cruza al eje “y” en 3. Pero esta función no es la función racional que teníamos en un principio, para ello a esta línea debemos quitarle un punto (3, 6). El valor de x=3, representaría la supuesta asíntota, antes de que la funciónpudiera simplificarse y el valor de y=6, resulta de reemplazar el valor de x=3, en la función simplificada; es decir en f(x)=x+3. Entonces y=f(3)=3+3=6
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Si trazamos la gráfica de esta función racional, podemos observar que es la gráfica de la función simplificada, pero con un hueco en el punto (3, 6), tal como se aprecia en la gráfica.

¿Cómo determinar si se trata de un hueco o de unaasíntota vertical?
Hueco: la función se puede factorizar y puede ser evaluada en los valores donde la función racional no se encuentra definida. Asíntota: La función racional, se encuentra simplificada al máximo y los valores en donde no existe, continúan haciendo cero el denominador.

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Asíntotas horizontales
Las asíntotas horizontales representan el comportamiento final de la función racional

Reglas para obtener las asíntotas horizontales
Sea

f (x) =

P (x) Q (x)

, si:

f (x) =

P (x) Q (x)

Es decir, el valor al cual tiende extremos del eje x, en

f (x) x − > +∞ y

en los

x − >...