Exploración matemática

TÍTULO DE EXPLORACIÓN : La belleza desconocida de los Trocoides

INTRODUCCIÓN
En cálculo integral, un campo que no suele ser estudiado con frecuencia es el de las curvas paramétricas. Éstas son sometidasa una variedad de ecuaciones paramétricas que posibilitan la existencia de una gran variedad de curvas, entre las cuales pueden encontrarse extrañas formas, así como unas comunes, unas complejas y unas que se destacan por su gran belleza y simetría. Estas ecuaciones paramétricas permiten representar varias curvas en el plano o espacio, mediante determinados valores arbitrarios o constantes.Al detallar este tipo de curvas y las hermosas formas que crean, quedé asombrada con la gran similitud que presentaba con las mandalas, un elemento con el cual muchas personas canalizan sus energías dado que son representaciones de símbolos espirituales. El círculo inscrito dentro de una forma cuadrangular representa el espacio sagrado, es decir, el centro del universo y por lo tanto, elsoporte de concentración. Lo bello de las mandalas, tal como los trocoides, es que son bastante figurativos ya que, a partir de los ejes cardinales son sectorizadas las regiones internas del círculo
Personalmente, nunca me detuve a observar estas curvas. Pero es posible hallar la perfección en las mismas realizando el debido estudio que incluya las fases de demostración, análisis y explicación.CICLOIDES
Este es un lugar geométrico de un determinado punto que se encuentra situado a una distancia del centro y que rueda a lo largo de una línea recta, trazando así curvas en el plano, debido movimiento del círculo.
En primer lugar, para facilitar su comprensión, conviene suponer que dicho círculo, mencionado anteriormente, rueda en dirección hacia la derecha sobre el eje x y que elcentro del mismo parte del origen, momento que será considerado como inmediatamente después de que el círculo ha empezado a rotar.
Tomando en cuenta lo anterior y tal como lo muestra la imagen 1, la medida del ángulo será t, siendo tomado en radianes, los cuales son una unidad de medida que representan al ángulo central en una circunferencia cualesquiera y abarca un arco cuya longitud es la mismaa la de su radio. Éste representa el ángulo de rotación presentado en el círculo para formar las curvas. Así mismo, la medida del arco PR será bt, donde b es la altura y t el ángulo, al ser b la altura el segmento QR será igual a la misma. Ahora bien, para darle una expresión a las coordenadas de P tal que se halle una una función de trayectoria r: → 2 , tal que (x,y) = r (t). Para esto esnecesario tener en cuenta que el círculo rueda en el eje sin resbalarse, por lo cual la medida del arco PR es igual a la medida del segmento OR, Por lo tanto, se cumple que
OR = Medida del Arco PR → OR = bt
Adicionalmente, conociendo que el segmento PS es cateto opuesto y el segmento QS cateto adyacente del ángulo t y teniendo en cuenta las razonestrigonométricas, las cuales afirman que el seno de un ángulo es la relación existente entre el cateto opuesto y la hipotenusa de un triángulo y que el coseno de un ángulo es la relación entre el cateto adyacente y la hipotenusa de un triángulo, se cumple que
PS = b y QS = b
Ahora bien, conociendo que x = OR – PS y Y= QR-QS , se realiza el debidoreemplazo de valores, tal que:
X = bt – b
X= b( t - Y= b ( 1-

Para demostrar la anterior ecuación anterior se tendrá como parámetro que θ sea el ángulo de rotación del círculo y que el punto P( x,y) empiece en el origen. Cuando θ=0, P se ubica en el origen, cuando θ= π, P está en un...