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Teorema de
Unicidad y Delta de
Dirac
Elaborado por: Martínez Sandoval Roberto

Teorema de Unicidad
• Determina que una solución de la ecuación de Laplace
satisface las condiciones de frontera, esasolución es única.
• Este teorema se aplica en a cualquier solución de la ecuación
de Laplace o de Poisson en una región cerrada especifica.
• Comprobación:
Supóngase que se tiene dos soluciones de laecuación de Laplace
V1 y V2, que satisfacen las condiciones de frontera dadas:

 V1  0
2

&
V1  V2

 V2  0
2

en la frontera

Vb  V1  V2

Se considera su diferencia
Que corresponde a

 2Vb  2V2   2V1  0
Vb  0

en la frontera

Con base en el teorema de divergencia(ley de Gauss)

  Adv Ñ
 AdS
v

Sea A =Vb Vb

S

y empleando la identidad vectorial

 (VD) V (  
D) D ( V
)
 A=  
(Vb
Pero como

2

Vb ) (Vb 
Vb ) 
( 
Vb V
b )

 2Vb  0
  A= Vb 
Vb

Usando el teorema de divergencia:

 V

b

v

Vb dv Ñ
 Vb Vb dS

V2  V1  Vb  0

Como:

SEntonces el miembro derecho de la ecuación tiende a cero:

  Vb dv  0
2

v

Hay dos razones en que una integral se anule
1.- que el integrando es cero en todo punto
2.- que el integrando se positivo enunas partes y negativo en otras de manera que
las contribuciones se cancelan algebraicamente
Ya que  (V1  V2 )

 (V1  V2 )

2

0

2

no puede ser negativo, usando la primera razón

,entonces(V1  V2 )  0

entonces el gradiente es cero, Vb=V1 - V2 =constante en todas partes de v

Vb  0
o
Vb  V1  V2  constante en todas partes de v
• Sin embargo lo anterior debe de ser congruentecon V1 = V2 en
la frontera
• Así, Vb=0 o Vb=V1 - V2 en cualquier parte, lo que indica que V1
y V2 no pueden ser diferentes soluciones del mismo problema.
• Por lo cual debe de ser la misma y solución eúnica del
problema

Delta de Dirac
La Delta de Dirac es una distribución o función generalizada introducida
por primera vez por el físico inglés Paul Adrien Maurice Dirac.
La función Delta vale...