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INTEGRAL DE SUPERFICIE
REPRESENTACION IMPLICITA Y EXPLICITA DE SUPERFICIE
Se conoce que una superficie S se puede representar de la forma S: F(x, y, z) =0 por ejemplo 2x2 + 3y2 – z =0, donde x,y, z son coordenadas cartesianas de R3, además 2x2 + 3y 2 _ z=0, es una superficie de nivel cero de la función escalar F(x, y, z)= 2x2 + 3y2 - z
También conocemos que el gradiente ∇F(x, y, z) esun vector normal a la superficie S en (x, y, z) ∈ S siempre que ∇F (x, y, z) ≠ 0; y para que la superficie S tenga una única normal en cada punto, la función F debe de ser de clase C1 (es decir susprimeras derivadas parciales deben ser continuas) y por lo menos unas de estas tres derivadas parciales debe ser diferente de cero. Luego un vector normal unitario a S es
N=∇ F∇ F Así comotambién -N=-∇ F∇ F . Bajo estas condiciones dadas a F también asegura la existencia de un plano tangente a la superficie S en el punto (x, y, z) ∈ S


A la expresión S:F (x, y, z)=0 se denomina una representación implícita de la superficie S también es posible hallar una representación explicita de la superficie S de la forma
S:z=gx.y
A la cual siempre esposible asociarle una representación implícita
S:Fx.y,z=0
Definiendo la función F como F(x, y, z) = g (x, y) – z
REPRESENTACION PARAMETRICA DE UNA SUPERFICIE
Sabemos que una curva en el planopuede ser representada por una ecuación de la forma
γ:f x.y=0
Por ejemplo, la circunferencia unitaria γ: x2+y2=1
Que resulta ser una curva de nivel cero de la función fx,y=x2+y2-1
Tambiénsabemos que es posible expresar la curva γ mediante una representación paramétrica como γ: x=costy=sent t: ∈0.2 π :
Esta representación paramétrica determina una función vectorial continuar(t) de variable t definida por r:0.2 π R2, tal que: rt=(x(t).yt=(cost.sent)

En forma similar se puede representar curvas en R3 rt=xt.yt.zt,
Por ejemplo la hélice circular...