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El problema de Waring
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En ocasiones puederesultar paradójico que la respuesta a una pregunta suponga la aparición de muchas otras preguntas, pero en matemáticas esto ocurre constantemente. Es habitual que la demostración de un hecho traigaconsigo la formulación de muchas preguntas relacionadas con este hecho.

Edward Waring
Precisamente esto es lo que ocurrió en 1909. Ese año David Hilbert daba una demostración de una conjeturaconocida comoproblema de Waring, formulada por el matemático inglésEdward Waring más de cien años antes, en 1770.
En concreto, Waring conjeturó en su obra Meditationes Algebraicae que
Todo entero positivopuede expresarse como suma de a lo sumo  potencias -ésimas positivas, siendo dependiente de  (se entiende que  es un número entero positivo).
Esto quiere decir que dado un exponente enteropositivo , todo número entero positivo que tomemos necesitará de, como mucho, un número concreto de potencias con ese exponente . Waring conjeturó que todo entero positivo puede expresarse como suma de, a losumo, 4 cuadrados, 9 cubos y 19 potencias cuartas. Vamos, que si expresáramos todos los enteros positivo como suma de números al cuadrado, no haría falta usar 5 de ellos para expresar así ningún número.Al parecer no se considera que Waring tuviera la suficiente capacidad para probar su propia conjetura, de hecho ni siquiera para probar alguno de los casos particulares () que él mismo conjeturó.Pero ahí quedó la cosa, como un reto al igual que cualquier otra conjetura, para quien la quisiera tomar.
El mismo año 1770 en el que se formuló la conjetura, el caso  queda demostradopor Lagrange dando como resultado que Waring tenía razón: todo entero positivo puede expresarse como suma de, a lo sumo, 4 cuadrados. Como no podía ser de otra forma, este resultado se denomina teorema de los...