expocicon de lagrange
Páginas: 2 (315 palabras)
Publicado: 7 de octubre de 2014
4.2 Interpolación de Lagrange.
La interpolación de Lagrange es una de las interpolaciones más útiles en integración numérica, ésta consiste en una representación de polinomios de lafunción, a considerar:
Suponga que se dan N+1 puntos como:
x0
x1
… …
xn
f(x0)
f(x1)
… …
f(xn)
Donde x0 , x1 … son las abscisas de los puntos dados en orden creciente, los espaciosentre los puntos son arbitrarios. El polinomio de orden N que pasa a través de los N+1 puntos se puede escribir como:
y(x)= (4.2.1)
Es decir que la función , se expresa como una combinaciónlineal de las observaciones independientes de un experimento.
Los aj(x)I, son los coeficientes de Lagrange.
Para encontrar los coeficientes, hay que establecer y resolver un sistema de necuaciones con n incógnitas que resultan de cada observación, lo que finalmente da, para el polinomio de Langrage de orden N:
4.2.2
La ecuación anterior parece complicada, pero en realidad no estan difícil, incluso la memorización.
Apliquemos esta para resolver un problema químico clásico.
Las densidades del sodio para tres temperaturas se dan en la tabla siguiente:Observación. i
Temperatura Ti °C
Densidad pikg/m3
0
94
929
1
205
902
2
371
860
a) Escribir el polinomio de Lagrange que se ajusta a los datos experimentales y determinar la densidadpara T=251°C.
Solución:
Y(T)=
Graficando esta expresión.
Como se ve, el ajuste del polinomio a los datos experimentales corresponde a una parábola y se puede determinar ahora un valorde densidad para una temperatura no reportada.
b) Calcúlese ahora el valor de la densidad para T=251°C sustituyendo 251 en la expresión, se tiene entonces:
Y(T)=
Lo cual da comoresultado: y(251)=890.5kg/cm3. Esta aproximación tiene un error de 5.53% que es bastante chico.
A continuación se presenta un pequeño programa en MATLAB para la interpolación de Lagrange.
La interpolación de Lagrange es una de las interpolaciones más útiles en integración numérica, ésta consiste en una representación de polinomios de lafunción, a considerar:
Suponga que se dan N+1 puntos como:
x0
x1
… …
xn
f(x0)
f(x1)
… …
f(xn)
Donde x0 , x1 … son las abscisas de los puntos dados en orden creciente, los espaciosentre los puntos son arbitrarios. El polinomio de orden N que pasa a través de los N+1 puntos se puede escribir como:
y(x)= (4.2.1)
Es decir que la función , se expresa como una combinaciónlineal de las observaciones independientes de un experimento.
Los aj(x)I, son los coeficientes de Lagrange.
Para encontrar los coeficientes, hay que establecer y resolver un sistema de necuaciones con n incógnitas que resultan de cada observación, lo que finalmente da, para el polinomio de Langrage de orden N:
4.2.2
La ecuación anterior parece complicada, pero en realidad no estan difícil, incluso la memorización.
Apliquemos esta para resolver un problema químico clásico.
Las densidades del sodio para tres temperaturas se dan en la tabla siguiente:Observación. i
Temperatura Ti °C
Densidad pikg/m3
0
94
929
1
205
902
2
371
860
a) Escribir el polinomio de Lagrange que se ajusta a los datos experimentales y determinar la densidadpara T=251°C.
Solución:
Y(T)=
Graficando esta expresión.
Como se ve, el ajuste del polinomio a los datos experimentales corresponde a una parábola y se puede determinar ahora un valorde densidad para una temperatura no reportada.
b) Calcúlese ahora el valor de la densidad para T=251°C sustituyendo 251 en la expresión, se tiene entonces:
Y(T)=
Lo cual da comoresultado: y(251)=890.5kg/cm3. Esta aproximación tiene un error de 5.53% que es bastante chico.
A continuación se presenta un pequeño programa en MATLAB para la interpolación de Lagrange.
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