EXPONENCIAL

PROBLEMAS SOLUCIONADOS SOBRE ECUACIONES
EXPONENCIALES Y LOGARÍTMIC
1) Hallar el exponente al que hay que elevar 7 para obtener

3

2401 .
4
3

4
.
3

Solución: Piden hallar x para que 7 = 2401 ⇔ 7 = 7 ⇔ 7 = 7 ⇒ x =
x

x

3

3

4

x

2) Calcular el logaritmo en base 9 de los siguientes números:
1
1
a) 3; b) 9; c) 243; d)
; e) .
81
9
Solución:

( )

x

a) log9 3 = x ⇔ 9 x = 3 ⇔ 3 2

= 3 ⇔ 32 x = 3 ⇒ 2 x = 1 ⇒ x =

1
.
2

b) log 9 9 = x ⇔ 9 x = 9 ⇒ x = 1 .

( )

5
.
2
x
−4
1
1
1
d) log 9
= x ⇔ 9x =
⇔ 3 2 = 4 ⇔ 3 2 x = 3 − 4 ⇒ 2 x = −4 ⇒ x =
= −2 .
2
81
81
3
x
−2
1
1
1
e) log 9 = x ⇔ 9 x = ⇔ 3 2 = 2 ⇔ 3 2 x = 3 − 2 ⇒ 2 x = −2 ⇒ x =
= −1 .
2
9
9
3
3) Hallar x en:
1
a) log x 25 = 2 ; b) log x 256 = 8 ; c) log x 81= .
2
Solución:
a) log x 25 = 2 ⇔ x 2 = 25 ⇒ x = ± 25 ⇒ x = ±5 . Pero la base x de un logaritmo, por
definición, debe ser positiva, es decir, x > 0 . Luego x=5.
c) log 9 243 = x ⇔ 9 x = 243 ⇔ 3 2

x

= 35 ⇔ 3 2 x = 35 ⇒ 2 x = 5 ⇒ x =

( )

( )

*

b) log x 256 = 8 ⇔ x 8 = 256 ⇒ x = ±8 256 = ±8 2 8 =⇒ x = ±2 . Pero la base x de un
logaritmo, por definición, debe ser positiva, esdecir, x > 0 . Luego x=2.
Nota *: Ya sabemos que (véase los problemas de radicales):
± n a
si n es par y a > 0 (a es positivo)

n
x = a ⇒ x = no existe si n es par y a < 0 (a es negativo)
n
si n es impar (a da igual que sea positivo, negativo o cero)
 a
1
1
c) log x 81 = ⇔ x 2 = 81 ⇔ x = 81 ⇒ x = 812 = 6561 .
2
4) Calcular log 20 8 .

Solución: El logaritmo log 20 8 no esexacto, pues

(

)

x

3
2

(

)

x

log 20 8 = x ⇔ 20 = 8 ⇒ 2 ⋅ 5 = 2 y esta ecuación exponencial 2 ⋅ 5 = 2
x

2

2

3
2

no se puede resolver algebraicamente, pues las bases 2 ⋅ 5 y 2, no son la misma. Así,
para calcularlos aplicamos la fórmula del cambio de base del logaritmo a, por ejemplo,
base el número e (logaritmo neperiano):
log e 8 ln 81,0397207708399179641258481821873
=
=
= 0,347067
log 20 8 =
log e 20 ln 20 2,9957322735539909934352235761425
2

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PROBLEMAS SOLUCIONADOS SOBRE ECUACIONES
EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS.
PROFESOR: ANTONIO PIZARRO.

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5) El logaritmo de 0,3 en una cierta base es

1
. Se pide:
3

a) Hallar dicha base.
b) Calcular el logaritmode 0,09 en dicha base.
Solución: a) Piden hallar x para que log x 0,3 =

1
. Pues vamos, con ánimo y alegría a
3

hallar esa base x que nos piden, “¡VINGA!”:
1
3
1
3
3
log x 0,3 = ⇔ x 3 = 0,3 ⇔ 3 x = 0,3 ⇒ 3 x = (0,3) ⇒ x = (0,3) = 0,027 .
3
x
b) log 0, 027 0,09 = x ⇔ (0,027 ) = 0,09 . Como los decimales, al ilustre profesor que

( )

escribe, no le gustan mucho, ya que prefiereoperar, y por tanto enseñar, con fracciones
o radicales, pues resulta que:
x

x

x
2
3x
2
 3  3 
 33 
9
32
 27 
3
3
3


log 0,027 0,09 = x ⇔ 
=
⇔
=
⇒
=
⇒
=

 
 
 
  
 10 3 
100
10 2
 1000 
 10 
 10 
 10 
 10  


3x

2

3
3
Como ya tenemos una ecuación   =   (ecuación viene del latín “equal”, es 10 

 10 

decir, igualdad) con la misma base, a saber por el lector miope

3
, igualamos los
10

2
.
3
Observación: Los siguientes ejercicios puede, según el libro de referencia que utilice el
alumno/a, que las ecuaciones exponenciales y logarítmicas se estudien al ver las
funciones logarítmicas y exponenciales, allá, en la mayoría de los centros educativos,
por el segundotrimestre.

exponentes. Luego 3x = 2 ⇒ x =

2 x −1

1
= 32 .
6) Resolver la ecuación:  
2
Solución: Este es el uno de los dos tipos clásicos (de los que han caído en los exámenes
durante toda la vida) para resolver ecuaciones exponenciales. Consiste, como has visto
en el ejercicio 1 y en el anterior en ingeniárselas (un poco de ingenio por parte del
lector, por favor) para que...