Exponenciales Y Logaritmicas Soluciones
1. Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales
a) 3 − x +1 = 3 2 x +3
Solución.
Exponenciales con igual base, se igualan los exponentes.
3 − x +1 = 3 2 x +3 ⇔ − x + 1 = 2x + 2
1 − 2 = 2x + x
−1
3x = −1 : x =
3
b) 3 ⋅ 3 x = 243
Solución.
Los dos términos se pueden expresar como exponenciales de igual base.
31+ x = 35
3 ⋅ 3 x = 243 :
1+ x = 5
:
:
x=4
2 2 x + 2 =0'5 2 x −1
Solución.
Los dos términos se pueden expresar como exponenciales de igual base.
c)
2 2 x + 2 = 0'5 2 x −1
1
2 2x +2 =
2
:
2 2 x + 2 = 2 −1⋅(2 x −1)
2x + 2x = 1 − 2
1
25
d) 5 ⋅ 5 125 2 x =
4 x = −1
:
2 2 x + 2 = 2 −1
:
2x + 2 = −1 ⋅ (2 x − 1)
:
( )
2 x −1
2 x + 2 = −2 x + 1
:
:
2 x −1
x=
−1
4
3x −1
Solución.
Los dos términos se pueden expresarcomo exponenciales de igual base.
1
5
5 ⋅ 125 2 x =
25
( )
2x 5
− 2 3x −1
5 ⋅ 53
= 5
:
6x
5 ⋅ 5 5 = 5 −6 x + 2
6x
+ 6x = 2 − 1
5
1
( )
3x −1
1+
:
5
6x
5
= 5 −6 x + 2
6x + 30 x
=1
5
:
:
:
5⋅5
3⋅2 x ⋅
1+
2
2
7 x −5 x + 6 = 1
x=
:
2
7 x −5 x + 6 = 7 0 ⇔ x 2 − 5 x + 6 = 0
(− 5) ± (− 5)2 − 4 ⋅1⋅ 6
2 ⋅1
1
= 5 − 2⋅(3x −1)
6x
= −6x + 2
5
5
36 x = 5 :x =
36
:
7 x −5 x + 6 = 1
Solución.
Los dos términos se pueden expresar como exponenciales de igual base.
e)
1
5
x = 2
:
x = 3
4x − 2x = 2
Solución.
Ecuación de segundo grado en la variable 2x.
f)
4x − 2x = 2
(2 )
2 x
:
− 2x − 2 = 0
(2 )
x 2
:
− 2x − 2 = 0
x
Cambio de variable: 2 = t > 0 (por definición, la exponencial siempre es positiva).
t2 − t −2 = 0
− (− 1) ±
t=
:
(−1)2 − 4 ⋅1⋅ (− 2)
2 ⋅1
t = −1: No tiene sentido, la exponencial siempre es positiva
t = 2: t = 2 x = 2 = 21 ⇔ x = 1
t = −1
=
t=2
g) 4 x ⋅16 x = 2
Solución.
Los dos términos se pueden expresar como exponenciales de igual base.
(2 ) ⋅ (2 )
2 x
4 x ⋅16 x = 2 :
4 x
=2 :
2 2x ⋅ 2 4x = 2 :
2 2 x + 4 x = 21
1
6
2 6 x = 21 ⇒ 6 x = 1 : x =
h) 9 x − 2 ⋅ 3 x + 2 + 81 = 0
Solución.Ecuación de segundo grado en la variable 3x.
2
x
2 x
x 2
= 3x
9 x − 2 ⋅ 3 x + 2 + 81 = 0 : 9 = 3
− 2 ⋅ 9 ⋅ 3 x + 81 = 0
: 3
x +2
2 x
x
3
= 3 ⋅ 3 = 9 ⋅ 3
( ) ( )
(3 )
x 2
{
}
( )
− 18 ⋅ 3 x + 81 = 0 : t = 3 x > 0 : t 2 − 18 ⋅ t + 81 = 0 : t =
− (− 18) ±
(− 18)2 − 4 ⋅1⋅ 81
2 ⋅1
=9
t = 3x = 9 = 32 ⇔ x = 2
7 2 x +3 − 8 ⋅ 7 x +1 + 1 = 0
Solución.
Ecuación de segundo grado en lavariable 7x.
2
2 x +3
= 7 3 ⋅ 7 2 x = 343 ⋅ 7 x : 343 ⋅ 7 x 2 − 8 ⋅ 7 ⋅ 7 x + 1 = 0
7 2 x +3 − 8 ⋅ 7 x +1 + 1 = 0 : 7
7 x +1 = 71 ⋅ 7 x = 7 ⋅ 7 x
i)
( )
( )
2
− (− 56 ) ±
343 ⋅ 7 x − 56 ⋅ 7 x + 1 = 0 : 7 x = t > 0 : 343 ⋅ t 2 − 56 ⋅ t + 1 = 0 : t =
( )
{
}
(− 56)2 − 4 ⋅ 343 ⋅1
2 ⋅ 343
1
−1
x
56 ± 42 t = 7 = 7 = 7 ⇔ x = −1
:
=
686 t = 1 = 7 − 2 = 7 x ⇔ x = −2
49
2 x ⋅3 x = 12 ⋅18
Solución.
Los dos términos se pueden expresar como exponenciales de igual base.
j)
2 x ⋅ 3 x = 12 ⋅18 :
(2 ⋅ 3)x
( )(
)
= 2 2 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 3 2 : 6 x = 2 3 ⋅ 3 3 : 6 x = (2 ⋅ 3)3
x
3
6 =6 ⇔x=3
2
=
k) 3 x +
1
3
x −1
=4
Solución.
Ecuación de segundo grado en la variable 3x.
1
1
3
3x +
= 4 : 3x +
= 4 : 3x +
=4
x −1
x
−1
3
3 ⋅3
3x
Para quitar el denominador, se multiplica todala ecuación por 3x.
2
2
3
= 3x ⋅ 4 : 3x + 3 = 4 ⋅ 3x : 3x − 4 ⋅ 3x + 3 = 0 : 3x = t
3 x ⋅ 3 x +
x
3
( )
t2 − 4⋅t + 3 = 0 : t =
− (− 4 ) ±
( )
(− 4)2 − 4 ⋅1⋅ 3
2 ⋅1
{
}
t = 1 = 3 0 = 3 x ⇔ x = 0
:
t = 3 = 31 = 3 x ⇔ x = 1
4 x +1 + 2 x +3 − 320 = 0
Solución.
Ecuación de segundo grado en la variable 2x.
x
x +1
= 41 ⋅ 4 x = 4 ⋅ 2 2 = 4 ⋅ 2 x
4 x +1 + 2 x +3 − 320 = 0: 4
2 x +3 = 2 3 ⋅ 2 x = 8 ⋅ 2 x
l)
( )
{2
x
}
= t > 0 : 4 ⋅ t 2 + 8 ⋅ t − 320 = 0 : t =
( ) : 4 ⋅ (2 )
2
x 2
+ 8 ⋅ 2 x − 320 = 0
− 8 ± 8 2 − 4 ⋅ 4 ⋅ (− 320 ) t = −10 < 0 No válida
:
3
x
2⋅4
t = 8 = 2 = 2 ⇔ x = 3
m) 2 x −1 + 2 x + 2 x +1 = 896
Solución.
Ecuación con la exponencial 2x como factor común del primer miembro.
2 x +1 = 21 ⋅ 2 x −1 x
2 x −1 + 2 x + 2 x...
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