exponenciales y logaritmos

Exponenciales y Logaritmos

Función Exponencial

Hasta ahora hemos estudiado potencias pertenecientes a distintos campos numéricos.

Potencias de exponente natural: an = n  N
Potencias de exponente nulo: a0 = 1 ( a  0 )
Potencias de exponente entero negativo: a-n = n  N , ( a  0 )
Potencias de exponente fraccionario: am/n = m  Z , n  N
y conocemossus propiedades básicas:

an . am = an+m
(an)m = an.m n , m  Q
Es posible dar sentido a expresiones tales como 2 , y estimar su valor a partir de una aproximación del exponente irracional. Las propiedades antes mencionadas se extienden para el caso en que n y m son números reales cualesquiera.

Con esto, podemos definir la función exponencial.

Dado a > 0 , llamamosfunción exponencial de base a a la función f : R  R definida por f (x) = ax .

Su comportamiento es muy distinto según sea a > 1 , a < 1 , a = 1.


Ejemplo: Analizar la gráfica de la función exponencial de acuerdo al valor de a.


a) Si a > 1 , por ejemplo y = 2x



En este caso la función es creciente.




b) Si 0 < a < 1 , por ejemplo y =Aquí la función es decreciente.


La siguiente tabla de valores nos permite hacer un estudio comparativo de estas dos funciones

x
2x
=
0
1
1
1
2

2
4

3
8

-1
2-1 =
2
-2

4
-3

8
...

...

...



Ejercicio 1 : ¿Qué pasa cuando a = 1 ?


Ejercicio 2 : Graficar:

a) y = 3x
b) y =
c) y = 5-x

La función exponencial aparece confrecuencia en modelos matemáticos de diferentes procesos evolutivos.


Ejemplo: Las amebas son seres unicelulares que se reproducen partiéndose en dos. Supongamos que las condiciones de un cultivo son tales que las amebas se duplican aproximadamente cada hora, y que inicialmente solo hay una ameba. Calcular el número de amebas que habrá según pasan las horas.

Tiempo (hs)
1
2
3
4
5
6
7
...Nro. de amebas
2
4
8




...


El número total al cabo de x horas será
y = 2x
Si al comienzo del proceso había k amebas, el número total sería:
y = k 2x


Ejercicio 3 : Las sustancias radiactivas se desintegran emitiendo radiaciones y transformándose en otras sustancias.

Sustancia radiactiva  radiaciones + otra sustancia.

Este proceso se realiza con el paso del tiempoy a un ritmo que varía según el tipo de sustancia.
La rapidez con que se desintegra una sustancia radiactiva se mide mediante su "período de desintegración", que es el tiempo que tarda en desintegrarse la mitad de la masa inicial; algunos ejemplos son:
uranio: 2500 millones de años
radio: 1620 años
actinio: 28 años
talio: 3 minutos

Si tenemos una masa inicial de un gramo y elperíodo de desintegración es un año, averiguar qué cantidad de sustancia radiactiva queda al cabo de:

Tiempo (años)
1
2
3
4
5
6
7
...
grs. de sustancia







...

¿Cuál es la función que representa este proceso?. Graficar.



Ecuaciones Exponenciales

A una ecuación en la que la incógnita aparece en un exponente se la llama ecuación exponencial.


Ejemplos: Resolvera) 53-x = 125

Observemos que 53-x = 53 , entonces 3 - x = 3 , luego x = 0

b) =
= = 3-3
1 - x2 = -3
x2 = 4 x1 = 2
x = 2
x2 = - 2


Ejercicio 4 : Encontrar el valor de x que verifica:

a) = 128

b) 23x = 0,53x+2



Función Logarítmica - Logaritmos

Ejemplos: Resolver 101 - x = 30

101 - x = 3 . 2 . 5


Observemos que nopodemos expresar al segundo miembro como potencia de 10, lo que nos permitiría resolver la ecuación.

Nuestra pregunta es: ¿cómo podemos resolver ecuaciones del tipo 10x = k ?, o en general ¿ ax = k ?.

Podemos hacerlo si conocemos la función inversa de y = 10x . A esta nueva función se la llama función logarítmica en base 10 y se denota y = log10 x .

Ahora, podemos decir que,
si...