Expresiones Algebraicas

Factorización de polinomios
En matemáticas y álgebra computacional, la factorización de polinomios o factorización polinómica se refiere a factorizar un polinomio con coeficientes en un campo dado o en los números enteros en factores irreducibles con coeficientes en el mismo dominio. Factorización polinómica es una de las herramientas fundamentales de los sistemas de álgebra computacional.
Lahistoria de la factorización polinómica comienza con Hermann Schubert quien en 1793 describió el primer algoritmo de factorización de polinomios, y Leopold Kronecker, quien redescubrió el algoritmo de Schubert en 1882 y la amplió a polinomios multivariados y con coeficientes en una extensión algebraica. Pero la mayor parte de los conocimientos sobre este tema no es mayor que alrededor del año 1965 ylos primeros sistemas de álgebra computacional. En una entrevista sobre el tema, Erich Kaltofen escribió en 1982 (véase la bibliografía):
Cuando los algoritmos de pasos finitos largo tiempo conocidos se pusieron por primera vez en los ordenadores, resultaron ser altamente ineficiente. El hecho de que casi cualquier polinomio uni o multivariado de hasta grado 100 y con coeficientes de tamañomoderado (hasta 100 bits) se puede factorizar mediante algoritmos modernos en unos pocos minutos indica el éxito con que este problema se ha atacado durante los últimos quince años.
Formulación
Anillos de polinomios sobre los enteros o sobre un campo son dominios de factorización única. Esto significa que cada elemento de estos anillos es el producto de una constante y el producto de polinomiosirreducibles (aquellos que no son el producto de dos polinomios no constantes). Por otra parte, esta descomposición es única hasta la multiplicación de los factores por constantes invertibles.
La factorización depende del campo base. Por ejemplo, el teorema fundamental del álgebra, que establece que todo polinomio con coeficientes complejos tiene raíces complejas, implica que un polinomio concoeficientes enteros se puede factorizar (mediante algoritmos numéricos) en factores lineales sobre los números complejos. Del mismo modo, sobre los números reales, los factores irreducibles tienen grado a lo sumo dos, mientras que hay polinomios de cualquier grado que son irreducible sobre los números racionales.
La factorización polinómica sólo tiene sentido para coeficientes en un campo computable endonde cada elemento puede ser representado en una computadora y existan algoritmos para las operaciones aritméticas. Fröhlich y Shepherson han proporcionado ejemplos de estos campos para los que puede no existir ningún algoritmo de factorización.
Los campos de los coeficientes para los que se conocen algoritmos de factorización incluyen campos principales (es decir, los números racionales y laaritmética modular sobre primos) y sus extensiones de campo finito. Coeficientes enteros también son manejables: el método de Kronecker sólo es interesante desde un punto de vista histórico, los algoritmos modernos provienen de una sucesión de:
Factorización sin radicales
Factorización sobre campos finitos
y reducciones:
Desde el caso multivariado al univariado.
Desde coeficientes en una extensiónpuramente trascendental al caso multivariado sobre el campo base (véase más abajo)
Desde coeficientes en una extensión algebraica a coeficientes en el campo base
Desde coeficientes racionales a coeficientes enteros (véase más abajo)
Desde coeficientes enteros a coeficientes en un campo primo con p elementos, para cierto p.
Factorización primitiva basada en contenido
Véase también: Lema de Gauss
En estasección, se muestra que la factorización sobre Q (los números racionales) y sobre Z (los enteros) es esencialmente el mismo problema.
El contenido de un polinomio p ∈ Z[X], denotado como "cont(p)", es, hasta su signo, el máximo común divisor de sus coeficientes. La parte primitiva de p es primpart(p)=p/cont(p), que es un polinomio primitivo con coeficientes enteros. Esto define una factorización...