Expresiones Fraccionarias

Escuela de Educación Técnica N° 6
Prof. Lorena Laugero – Prof. Sebastián Leoni – Prof. Patricia Taddeo

Expresiones algebraicas fraccionarias
Definición
Dados dos polinomios P (x) y Q (x) , tal Q (x) sea distinto de cero, se denomina
expresión algebraica fraccionaria a toda expresión de la forma:
P( x)
Q( x)

Ejemplo:
x+2
x+2
=
2
x ⋅ (1 − x)
x−x

∀x : x ≠ 0 ∧ x ≠ 1

Una expresión algebraica esirreducible si no existen en ella factores comunes al
numerador y al denominador.

a)

x
x −3

b)

x2 + x
x ⋅ ( x + 1)
x ⋅ ( x + 1)
=
=
3
2
2
x − 2 ⋅ x − 3 ⋅ x x ⋅ ( x − 2 ⋅ x − 3) x ⋅ ( x + 1) ⋅ ( x − 3)

∀x : x ≠ 3

∀x : x ≠ 0 ∧ x ≠ −1 ∧ x ≠ 3

La expresión a es una expresión algebraica
expresión b es
.

, mientras que la

Simplificación de expresiones algebraicas fraccionarias
Para simplificaruna expresión algebraica fraccionaria se debe factorizar el numerador y
denominador, y cancelar los factores comunes en ambos; de esta manera se obtiene una
expresión irreducible equivalente a la original.

Ejemplo:

x2 − 3⋅ x + 2
( x − 1) ⋅ ( x − 2)
1
=
=
3
2
x − 2 ⋅ x − x + 2 ( x − 1) ⋅ ( x + 1) ⋅ ( x − 2) x + 1

∀x : x ≠ 1 ∧ x ≠ −1 ∧ x ≠ 2

• El objeto de simplificar es reducir la expresión ypoder efectuar operaciones en forma
más sencilla.

Actividades
1 ) Indicar cuáles de las siguientes expresiones son algebraicas fraccionarias.
Matemática – 1º año
Página 1

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a) 3 ⋅ x 2 −

1
⋅x−5
2

c)

b) 5 ⋅ x −1

x−2
3

d) ( x + 3) ÷ x 5

2 ) Simplificar las siguientes expresiones algebraicas
x3− x2 − x + 1
a)
=
x2 −1

bx 9 + bx 6 − bx 7 − bx 4
g)
=
x6 − x5 + x3 − x2

b)

a ⋅ x4 − a
=
(3 x 2 + 3) ⋅ ( x 2 + 2 x + 1)

h)

3 x 3 + 24
=
x 3 − 2 x 2 + 4 x − bx 2 + 2bx − 4b

c)

2 ⋅ x2 − 6 ⋅ x − 8
=
x 3 − 16 ⋅ x + x 2 − 16

i)

y 3 x 2 + 4 x 2 y + 2 y 2 x 2 + 8x 2
=
xy 4 − 16 x

j)

x 3 − 3 ⋅ x 2 − 4 ⋅ x + 12
=
x 3 + x 2 − 8 ⋅ x − 12

k)

ax 4 + 8ax 2 − 4ax 3 − 16ax + 16a
=
− 2 x 4 + 32

a ⋅ x −a ⋅ x2
d) 3
=
x − 2 ⋅ x2 + x

e)

6 x 2 − 3x 3 + 6 x − 3x 4
=
x3 + x 2 − 2x − 2

f)

− x 2 − 14 ⋅ x − 49
=
2 ⋅ x 2 + 12 ⋅ x − 14

Multiplicación de expresiones algebraicas fraccionarias
El resultado de multiplicar dos expresiones algebraicas fraccionarias es otra expresión
algebraica fraccionaria cuyo numerador y denominador son el producto de los numeradores y
denominadores de las expresionesdadas.
P ( x) R ( x ) P ( x ) ⋅ R ( x )
⋅
=
Q ( x ) S ( x ) Q ( x) ⋅ S ( x )

Ejemplo:

2 ⋅ x − 3 x 2 − 25 2 ⋅ x − 3 ( x − 5) ⋅ ( x + 5) x − 5
⋅
=
⋅
=
x +5 6⋅ x −9
x+5
3 ⋅ (2 ⋅ x − 3)
3

∀x : x ≠ −5 ∧ x ≠

3
2

División de expresiones algebraicas fraccionarias
El resultado de dividir dos expresiones algebraicas fraccionarias es otra expresión que
se obtiene multiplicando la primera expresión por larecíproca de la segunda.

Matemática – 1º año
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P( x) R( x) P( x) S ( x)
÷
=
⋅
Q( x) S ( x) Q( x) R( x)

Ejemplo:
2⋅ x + 2
x2 −1
2⋅ x + 2
x + 2 2 ⋅ ( x + 1)
x+2
2
÷
= 2
⋅ 2
=
⋅
=
2
2
x + 4 ⋅ x + 4 x + 2 x + 4 ⋅ x + 4 x − 1 ( x + 2) ( x − 1) ⋅ ( x + 1) ( x + 2) ⋅ ( x − 1)
∀x : x ≠ −2 ∧ x≠ 1 ∧ x ≠ −1

Actividades
3 ) Efectuar las siguientes multiplicaciones y divisiones.
a)
b)
c)

1 x +1 x4 −1
⋅
⋅
=
x x2 + x x2 −1

f)

25 − x 2
x−5
÷
=
2
x + x 3⋅ x + 3

1
− 8⋅ x
2
⋅ ( x 3 + 8) ⋅
=
2
2
x − 2⋅ x + 4
2⋅ x + 3⋅ x − 2

g)

x3 − 8 2 ⋅ x4 + 4 ⋅ x3 + 8 ⋅ x2
÷
=
x2 − 4
2 ⋅ x3 + 4 ⋅ x2

x 3 + cx 2
y 2 + 2 yc + c 2 x + c
⋅
⋅
=
xy + xc
xy + xc
x 2 + 2cx + c 2

h)

x2 − 4
x 3 − 7 ⋅ x − 6 5 ⋅x 2 − 45
÷
⋅
=
2
x +1
2 ⋅ x 2 + 2 ⋅ x − 12

i)

0,25 x 2 − 3 x + 9 
1  x−6
6
⋅−
⋅
=
÷ 2
x +1
 0,5 x − 3  x − 1 x − 1

x−

−1

− x 3 + 0,125  2 x 3 
x 3 + 0,5 x 2 + 0,25 x


d)
÷
÷
=
2x − 5
4 x 2 − 10 x  − x + 0,5 

e)

x2 + x − 6 x2 + 5⋅ x + 6
÷ 2
=
x2 −1
x + x−2

j)

x 2 + xy + xz + yz
x+ y
x+z
1
÷
÷
⋅
=
2
2
2
2
2
3x − 3z
( x + z)
− 6 x + 6 z (− x − z ) 2

Suma y resta de...