Expylogv1

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Cap´ıtulo 7

La Funci´on Exponencial y la Funci´
on
Logar´ıtmica
M.Sc. Alcides Astorga M., Lic. Julio Rodr´ıguez S.

Instituto Tecnol´
ogico de Costa Rica
Escuela de Matem´
atica

···
Revista digital Matem´
atica, educaci´
on e internet (www.cidse.itcr.ac.cr)

2
Cr´
editos

Primera edici´
on impresa:
Edici´
on LaTeX:
Colaboradores:
Edici´
on y composici´
on final:
Gr´
aficos:
Comentarios ycorrecciones:

´
Rosario Alvarez,
1984.
Marieth Villalobos, Alejandra Araya, Jessica Chac´
on, Mar´ıa Elena Abarca, Lisseth Angulo.
y Walter Mora.
Cristhian Pa´ez, Alex Borb´
on, Juan Jos´e Fallas, Jeffrey Chavarr´ıa
Walter Mora.
Walter Mora, Marieth Villalobos.
escribir a wmora2@yahoo.com.mx

Contenido
7.1

7.2

7.1

La funci´on exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1Representaci´on del gr´afico de la funci´on exponencial
7.1.2 Algunas propiedades de la funci´on exponencial . . .
7.1.3 La funci´on exponencial de base e ≈ 2, 718281... . . .
La funci´on logar´ıtmica y sus propiedades . . . . . . . . . . .
7.2.1 Representaci´on del gr´afico de la funci´on logar´ıtmica
7.2.2 Algunas propiedades de la funci´on logar´ıtmica . . .
7.2.3 La funci´on logar´ıtmica de base e (e ≈2, 718281) . .
7.2.4 La funci´on logar´ıtmica de base 10 . . . . . . . . . . .
7.2.5 Propiedades de los logaritmos . . . . . . . . . . . . .

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. 3
. 4
. 5
. 5
. 6
. 8
. 9
. 9
. 9
. 10

La funci´
on exponencial

En temas anteriores, hemos definido el significado de expresiones de la forma ax , con “a” un n´
umero real posi3
1
tivo y x un n´
umero racional, por ejemplo conocemosel significado de 20 , 23 , 25 , 2 5 , 2 2 , pero por el contrario
√
no conocemos el significado de expresiones como 2 3 , 2π , etc. Puesto que en este cap´ıtulo nos interesa estudiar
expresiones de la forma ax , aceptaremos sin demostrar, que estas expresiones est´an definidas para todo n´
umero
real x, si a ∈ R, a > 0.

Definici´
on 1
Sea a ∈ R, a > 0, a = 1, se llama funci´on exponencial debase “a”, y se denota Expa , a la funci´on definida
por:
Expa : R −→ ]0, +∞[
x −→ ax

Observaciones
1. De la definici´on anterior se tiene que Expa (x) = ax
2. La restricci´on a > 0, es indispensable, pues si a fuera cero o un n´
umero negativo, se presentar´ıan algunas
1
expresiones no definidas en R, tales como 0−1 , (−2) 2 , 00 , etc.

3

4

La funci´on exponencial y la funci´on logar´ıtmica
3.El caso a = 1 se ha excluido debido a que en este caso se tendr´ıa 1x = 1, para cada x ∈ R, o sea que 1x
es una funci´on constante.

Ejemplos de funciones exponenciales

a.) La funci´on f definida por f (x) = 2x es la funci´on exponencial de base 2.

b.) La funci´on g definida por g(x) =

7.1.1

1
2

x

es la funci´on exponencial de base

1
2

Representaci´
on del gr´
afico de la funci´
onexponencial

Ejemplo 1
Considere las funciones exponenciales definidas respectivamente por: Exp2 (x), Exp 12 (x)
Realice el trazo de estas funciones.

Soluci´
on
Para realizar el trazo de estas funciones debemos construir, para cada una de ellas una tabla de valores conveniente de la manera siguiente:

x

−2

−1

0

1

2

Exp2 (x)

1
4

1
2

1

2

4

x

−2

−1

0

1

2

Exp 12 (x)

4

2

1

1
2

1
4

J.Rodr´ıguez S. A. Astorga M.

7.1.2

5

Algunas propiedades de la funci´
on exponencial

Si f (x) = ax ;

Si g(x) = ax ; 0 < a < 1

a>1

1.

f (x) > 0, para toda x ∈ R

1.

g(x) > 0; para toda x ∈ R

2.

f (0) = 1

2.

g(0) = 1

3.

f (1) = a

3.

g(1) = a

4.

f es biyectiva.

4.

g es biyectiva.

5.

f es creciente en todo su dominio.

5.

g es decreciente en todo su dominio.

6.

Si x tiende a...