Extensiones Compuestas

CAPITULO 2.1. EXTENSIONES DEL CALCULO
MULTIVARIANTE. FUNCIONES COMPUESTAS
BIBLIOGRAFIA
Notas Introducción Matemáticas para la
Economía (Cap 4, 5)
Sydsaeter y Hammond (Cap. 16)
Mercedes Vázquez
1

INTRODUCCIÓN. COMPOSICION DE FUNCIONES DE UNA VARIABLE.

Considera la función h(x) = ln(x2 +1). Observa que, en realidad, la función anterior está
formada por otras dos funciones: ellogaritmo y la función g(x) = x2 + 1 .
Cómo construimos la función h(x) a partir de las otras dos?. Observa
obtengo Ln( x2 + 1) = h( x)

Si tomo t = x 2 + 1

f (t ) = L n t

Es decir
x

g(x)
t

f(t)

h(x)

Por tanto, para obtener la función h(x) hemos sustituido la variable independiente t por la
función g(x). Como ya has visto en Matemáticas I esta operación entre funciones se
odenomina “composición” y se denota por h(x)=f g(x)=f(g(x)). Y h(x) es la función g
compuesta con f .
2

La primera observación importante es que, para que dicha operación pueda realizarse,
es necesario que las funciones “peguen bien”. Es decir, que el conjunto Imagen de la
primera función esté incluido en el Dominio de la segunda. Por ejemplo, si tomamos las
funciones f(t)=Lnt y g(x)= − x 2la composición es imposible pues, como sabes, el
dominio del logaritmo no admite valores negativos.

Otro aspecto a tener en cuenta es que esta operación no es conmutativa. Para verlo,
toma las funciones anteriores f(t)=lnt y g(x) = x2 +1 . Calculamos la función “ f compuesta
con g” h(t)=g(f(t))=g of(t). Tenemos
t

f(t)
x

g(x)

h(t)

2
Luego h(t)=g(f(t)) =(Lnt) +1 que obviamente nocoincide con la función compuesta de
la página anterior.

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Las funciones compuestas aparecen de forma natural en Economía. Por ejemplo,
supongamos que la función de producción de una empresa es f (L) = L . Además, la
cantidad de trabajo contratado depende del salario de los trabajadores (w) según la
1
función g ( w ) = L = w 2 . Por tanto, si queremos saber la relación que existeentre la
cantidad producida y el salario tendremos la función compuesta
1/ 2

1/ 2

⎛ 1 ⎞
h ( w) = f o g ( w) = f ( g ( w)) = ⎜ 2 ⎟
⎝w ⎠

=

1
w

Otro ejemplo interesante es el estudio de la demanda de un determinado bien a lo
largo del tiempo. Supongamos que la cantidad demandada de un bien (X) depende de
10
su precio p según la función X ( p) = p .
Supongamos además que el precioevoluciona con el tiempo según la fórmula p(t) =t2 +1
¿Cuál será la cantidad demandada del bien dentro de 3 años?.
Construimos la función compuesta que nos proporciona la demanda del bien en
función del tiempo X ( p ( t )) = 10 = 10
y por tanto X(3)= 1 unidad.
p (t )

t2 + 1

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Ejercicio. Calcula las funciones ho f (x) y f o h(z) donde

f ( x) =

x −1
z+1
, h( z )=
1-z
x +1.

x −1
+1
( f ( x ) + 1)
x −1+ x +1
2x
x +1
h o f ( x ) = h ( f ( x )) =
=
=
=
= x
a)
x −1
(1 − f ( x ))
x +1− x +1
2
1−
x +1
z +1
b
−1
) f o h ( z ) = f ( h ( z )) = h ( z ) − 1 = 1 − z = z + 1 − 1 + z = 2 z = z
b)
h( z ) + 1

La Función Inversa

z +1
+1
1− z

z +1+1− z

2

(Opcional)

En el ejercicio anterior ocurre que las funciones compuestas coinciden,es decir,

h o f (x) = f o h( x)y además la composición es igual a la función identidad. Cuando dos
funciones tiene esta propiedad se dice que son funciones inversas. Por ejemplo, las
funciones logarítmica y exponencial lo son pues
f o g ( y ) = f ( g ( y)) = ln e y = y
f ( x) = ln x y g ( y) = e ⇒
g o f ( x) = g ( f ( x)) = eln x = x
y

5

1
x

Y lo mismo ocurre con la función f(x) = , que es inversa de sí misma pues
1
1
=
= y
g ( y) 1 / y
1
1
f ( x) = , g ( y) = ⇒
1
1
x
y
g o f ( x ) = g ( f ( x )) =
=
= x
f ( x) 1 / x
f o g ( y ) = f ( g ( y )) =

Por tanto, Las funciones f(x) y g(y) serán inversas cuando

y = f ( x) ⇔ x = g ( y )
puesto que si la doble implicación anterior es cierta, aplicando la definición de
composición se tiene

f o g ( y...