Extremos condicionados

Extremos Ligados o Condicionados________________________

Recordando

Consiste en investigar los extremos de un campo escalar F sujeto a la restricción impuesta
por una condición a cumplir porsus variables.
Por ejemplo, hallar el mínimo del campo escalar
.

sujeto a la condición

El problema puede resolverse transformando a la función de dos variables en una función
de una variable,usando la relación entre x e y dada por la condición (
. La función para
la cual debemos determinar el mínimo es entonces
.
Derivamos la función e igualamos a cero para determinar el o los puntoscríticos:

C.N.

punto critico

C.S
Otra forma de determinar los extremos condicionados de una función de dos variables
independientes, sobre todo cuando no es posible reducirla a una funciónde una variable, es
mediante el METODO DE LAGRANGE.
Dado el campo escalar
sujeto a la restricción
, para determinar la
existencia de extremos condicionados se define una nueva función auxiliar Gde la siguiente forma

Se calculan las derivadas parciales de G respecto de x, y,  y se igualan a cero. Se forma así
un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas cuyas soluciones nosproporcionan los posibles
máximos o mínimos condicionados de la función F.

Para determinar si los puntos hallados anteriormente son máximos o mínimos, se debe
calcular un determinante en cada punto,llamado Hessiano Orlado y formado por las derivadas
segundas de G respecto de las tres variables:

F tiene un MAXIMO CONDICIONADO en
F tiene un mínimo condicionado en

si
si

Ejemplo:
Hallardos números cuyo producto sea máximo y su suma sea igual a 4
La función a maximizar es

y la restricción es

Definimos la función
Calculamos las derivadas parciales y las igualamos a ceroIgualando (1) y (2) queda
Reemplazando en (3):
Punto crítico:
Calculamos el Hessiano en el punto crítico para determinar su naturaleza
por lo tanto tiene un máximo condicionado en (2;2)
Los números...