Extremos De Funciones Escalares

MOISES VILLENA

Extremos de Funciones Escalares

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4.1. 4.1. 4.2. 4.2. 4.3. 4.3. 4.4. POLINOMIOS DE TAYLOR EXTREMOS DE FUNCIONES ESCALARES EXTREMOS CONDICIONADOS ( Multiplicadores de Lagrange)

Objetivos.

Se persigue que el estudiante: • Encuentre Polinomios de Taylor para funciones de dos variables. • Optimice funciones de dos y tres variables sin restricciones y con una y dosrestricciones de igualdad

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4.1 POLINOMIOS DE TAYLOR
En el capitulo anterior se mencionó que si diferenciable entonces

z = f x 0 + ⎡ Df x 0 ⎤ ⎡ x − x 0 ⎤ debe ⎦ ⎣ ⎦⎣ buena aproximación de la función en la vecindad de x 0 , es decir: f x ≈ f x 0 + ⎡ Df x 0 ⎤ ⎡ x − x 0 ⎤ ⎦ ⎣ ⎦⎣

( )

( )

f

es una función ser una

()

( )

( )Para funciones de dos variables tenemos:

⎡ ∂f f ( x, y ) ≈ f ( x0 , y0 ) + ⎢ ⎣ ∂x
Un polinomio de primer orden:

⎡ x − x0 ⎤ ∂f ⎤ ⎢ ⎥ ∂y ⎥ ( x0 , y0 ) ⎣ y − y0 ⎦ ⎦

f ( x, y ) = f ( x0 , y0 ) +
Ejemplo.
Sea

∂f ( x , y ) ∂f ( x , y ) [ x − x0 ] + [ y − y0 ] + r1 ∂x ∂y
0 0 0 0

f ( x, y ) = sen ( x + 2 y ) . Hallar el polinomio de Taylor de Primer orden

en la vecindad de ( 0, 0) . SOLUCIÓN: En este caso tenemos:
∂f ( 0, 0 ) ∂f ( 0, 0 ) [ x − 0] + [ y − 0] + r1 ∂x ∂y Las derivadas parciales, serian: ∂f ( 0, 0 ) = cos ( x + 2 y )( 0,0) = 1 ∂x ∂f ( 0, 0 ) = 2 cos ( x + 2 y )( 0,0) = 2 ∂x f ( x, y ) = f ( 0, 0 ) +

sen ( x + 2 y ) = 0 + 1[ x ] + 2 [ y ] + r1

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4.1.1 Polinomio de Taylor de segundo orden.
Parafunción de una variable el polinomio de Taylor de segundo orden es:

f ( x ) = f ( x0 ) + f ´( x0 ) [ x − x0 ] +

1 2 f ´´( x0 ) [ x − x0 ] + r2 2

Haciendo analogía para funciones de varias variables, deberíamos n utilizar matrices diferenciales y vectores de .
T 1 f x = f x 0 + ⎡ Df x 0 ⎤ ⎡ x − x 0 ⎤ + ⎡ x − x 0 ⎤ ⎡ D Df x 0 ⎤ ⎡ x − x 0 ⎤ + r2 ⎦ 2⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎣

()

donde D

( Df (x ))
0

( )

( )

( ( ))

seria la matriz diferencial de la matriz diferencial, es

decir la matriz de segunda derivadas, la cual se la denomina matriz Hessiana, se la denota por

H( f )

y se la define de la siguiente manera:

⎡ f x1x1 ⎢ ⎢ f x2 x1 ⎢f xx H( f )=⎢ 31 ⎢ fx x ⎢ 41 ⎢ ⎢f ⎣ xn x1
Si

f x1x2 f x2 x2 f x3 x2 f x4 x2 f xn x2

f x1x3 f x2 x3 f x3 x3 f x4 x3 f xn x3
fxy ⎤ f yy ⎥ ⎦
⎤ f xz ⎥ f yz ⎥ ⎥ f zz ⎥ ⎦

f x1xn ⎤ ⎥ f x2 xn ⎥ f x3 xn ⎥ ⎥ f x4 xn ⎥ ⎥ ⎥ f xn xn ⎥ ⎦

f

es una función de dos variables, la matriz Hessiana sería:

⎡ f xx H ( f ( x, y ) ) = ⎢ ⎣ f yx
Si

f

es una función de tres variables, la matriz Hessiana sería:

⎡ ⎢ f xx H ( f ( x, y , z ) ) = ⎢ f yx ⎢ ⎢ f zx ⎣

f xy f yy f zy

Bien, el polinomio de Taylor de segundoorden para funciones de dos variables seria: ⎡ f xx f xy ⎤ ⎡ x − x0 ⎤ 1 ⎡ x − x0 ⎤ ⎡ ∂f ∂f ⎤ f ( x, y ) = f ( x0 , y0 ) + ⎢ ⎥ ⎢ y − y ⎥ + [ x − x0 y − y0 ] ⎢ f ⎢ ⎥ + r2 ⎥ 2 ⎣ ∂x ∂y ⎦ ( x0 , y0 ) ⎣ 0⎦ ⎣ yx f yy ⎦ ( x0 , y0 ) ⎣ y − y0 ⎦

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Ejemplo.
Sea f ( x, y ) = e
3x+2 y

. Hallar el polinomio de Taylor de segundo orden en lavecindad de ( 0, 0 ) SOLUCIÓN: En este caso tenemos
⎡ f ( x, y ) = f ( 0, 0 ) + ⎣ f x ⎤ fy ⎦
( 0,0 )

⎡x ⎤ 1 ⎢ y⎥ + 2 [x ⎣ ⎦

⎡ f xx y] ⎢ ⎣ f yx

f xy ⎤ f yy ⎥ ⎦

⎡x ⎤ ⎢ y ⎥ + r2 ( 0,0 ) ⎣ ⎦

Las derivadas parciales de primer orden serian:

f x ( 0, 0 ) = 3e3 x + 2 y

( 0,0 ) ( 0,0 )

=3 =2 =9 = 6 = f yx ( 0, 0 ) =4

f y ( 0, 0 ) = 2e3 x + 2 y f xx ( 0, 0 ) = 9e3 x + 2 y

Lasderivadas parciales de segundo orden serian
( 0,0 ) ( 0,0 ) ( 0,0 )

f xy ( 0, 0 ) = 6e3 x + 2 y f yy ( 0, 0 ) = 4e3 x + 2 y
Reemplazando y resolviendo:

⎡x ⎤ 1 f ( x, y ) = 1 + [ 3 2 ] ⎢ ⎥ + [ x ⎣ y⎦ 2

⎡9 6 ⎤ ⎡ x ⎤ y] ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ + r2 ⎣6 4 ⎦ ⎣ y ⎦ ⎡x ⎤ 1 f ( x, y ) = 1 + 3 x + 2 y + [9 x + 6 y 6 x + 4 y ] ⎢ ⎥ + r2 2 ⎣ y⎦ f ( x, y ) = 1 + 3 x + 2 y + 1 ( 9 x 2 + 6 xy + 6 xy + 4 y 2 ) + r2 2 9 f (...