Extremos_Multivariable

Universidad de Costa Rica
Escuela de Matemática
MA 1003 Cálculo Diferencial e Integral 3

Ejercicios Adicionales
Práctica para el Segundo Examen Parcial
Prof. Marco Alfaro C.

1. Determine, usando el criterio de los menores principales de la matriz hessiana, los extremos locales
y los puntos de ensilladura de las siguientes funciones de tres variables.

(a) f (x; y; z) = x4 + y 4 + z 4 + 4x + 4y+ 32z + 1:
(b) f (x; y; z) =

2x4

y4

4

(c) f (x; y; z) = x + 2y
(d) f (x; y; z) = 13 x3
(e) f (x; y; z) =

1 3
3x
3

4

z 4 + 8x + 4y + 4z
z + 10x + 12y + 9z:
y 2 + 2y

x+2
2

2

z + 2z + 3:

2

(f) f (x; y; z) = x + 3x

z 2 + 2z:
2

+ x + y + 2y

2z 2 + 6z + 2:

2y + 4y

(g) f (x; y; z) = 2 x3 + x2 + 3x + y 2
3

2

(h) f (x; y; z) = 15x + 6x
3

2:

4

10y + z + 12:

2

x + 2y + y + 5z 2 + 10z2

(i) f (x; y; z) = x + y + xy + xz + yz + 4y + z
3

2

2

3

2

2

2:

3:

(j) f (x; y; z) = 2x + 2y + z + 2xy + xz + yz + z

1:

(k) f (x; y; z) = 2x + 2y + z + 2xy + 3yz:
(l) f (x; y; z) = x2 + y 2 + z 2 + xy + xz + yz + x + y + z + 2:
(m) f (x; y; z) =

2x2

y2

3z 2 + xy + 2x + 2y + 3z:

(n) f (x; y; z) = 2x2 + 3y 2 + 2z 2 + 2xy + xz + yz + 2x + 4y + 6z:
(o) f (x; y; z) = 6x2 + 5y 2 + 4z 2+ 3xy + 2xz + yz:
(p) f (x; y; z) = x2 + 2y 2 + z 2 + 2xy + xz + 2yz + x + 2y + z + 2:
(q) f (x; y; z) =

x2
2

2y 2
2

z2

2xy

xz

2yz

x

2y

z

2:

2

(r) f (x; y; z) = x + 2y + 3z + xy + 2xz + 3yz + x + 2y + 3z + 1:
(s) f (x; y; z) =

x2

(t) f (x; y; z) =

2x2

y2
3y 2

z 2 + xz + y:
z 2 + xy + yz + x + y + z + 2

2. Resuelva los siguientes ejercicios, mediante el método de Multiplicadoresde Lagrange.
(a) Hallar los extremos de f (x; y; z)
g (x; y; z) = 4x2 + 3y 2 + z 2 80 = 0:

=

(b) Hallar los extremos de f (x; y; z)
g (x; y; z) = x2 + 2y 2 + z 2 = 50:

=

(c) Determine los semiejes de la elipse 5x2
2

(d) Calcule el área de la elipse 25x

2x + 3y + z; sujeta a la restricción
x

y

6xy + 5y 2

14xy + 25y

2

z;

sujeta

a

la

restricción

32 = 0:

288 = 0:

(e) Determine lospuntos de la curva x2 + y 2 + xy = 4 más cercanos y más alejados del origen.
(f) Determine los puntos de la curva (x

2

1) + (y

2

1) = 4 más cercanos y más alejados del

origen.

(g) Determine los puntos de la super…cie (x
más alejados del origen.

1

2

2) + (y

2

1) + (z

2

2) = 16 más cercanos y

(h) Determine los puntos del elipsoide 4x2 + y 2 + 4z 2
y más alejados del plano 2x + 2y + z =0:

16x

6y

8z + 25 = 0 más cercanos

3. Demuestre que el paralelepípedo de mayor volumen que se puede inscribir en una esfera es un cubo.
4. Hallar el paralelepípedo de mayor volumen que se puede inscribir en el elipsoide
5. Hallar los extremos absolutos de la función f (x; y) =
A = f(x; y) : x 0; y 0; x + y 1g :

3x2
2

x3
3

6. Hallar los extremos absolutos de la función f (x; y)
A = f(x; y) :0 x 1; 0 y 1g :

+ 2x + y 2

y2
x2
z2
a2 + b2 + c2

2y + 1 en la región

3x2 + 5y 2

=

= 1:

en

la

región

7. Hallar los extremos absolutos de la función f (x; y) = x2 + x + y 2 + y en la región
A = (x; y) : x2 + y 2 1 :
8. Determinar los extremos absolutos de la función f (x; y) = cos x + cos y en la región
A = f(x; y) :
x
;
y
g:
9. Determinar los extremos absolutos de la función f (x; y) =sen x + cos y en la región
A = f(x; y) :
x
;
y
g:
2

10. Determinar los extremos absolutos de la función f (x; y; z) = (x
región A = (x; y; z) : x2 + y 2 + z 2
12 :

2

1) + (y

1) + (z

2

1) en la

xy 2 z 3 en la región

11. Determinar los extremos absolutos de la función f (x; y; z)
A = (x; y; z) : x2 + y 2 + z 2 1 :

=

12. Hallar los extremos absolutos de la función f (x; y)
A = (x; y) : x2 2x+ y 2 3 :

=

x2 + 3y 2

13. Determinar los extremos de la función f (x; y; z) =
g (x; y; z) = 5x2 + y 2 + z 2 1030 = 0:

4y + 5z; sujeta a la restricción

x

14. Hallar los extremos absolutos de la función f (x; y) = x2 + y 2
A = (x; y) : x2 + y 2 1 :
15. Hallar los extremos absolutos de la función f (x; y)
A = (x; y) : 21 x2 + y 2 1 :

=

16. Hallar los extremos absolutos de la función f (x;...