Extremos relativos

EXTREMOS RELATIVOS DE FUNCIONES_________________
Recordando

Crecimiento y decrecimiento de una función.
Definición: Una función f: A→R es estrictamente creciente en (a; b)  A sí y sólo sí dadosdos valores x1 ; x2  (a; b) que verifican x2  x1  f ( x2 )  f ( x1 )
Definición: Una función f: A→R es estrictamente decreciente en (a; b)  A sí y sólo sí dados
dos valores x1 ; x2  (a; b)que verifican x2  x1  f ( x2 )  f ( x1 )

Observamos que al trazar las rectas tangentes en los puntos donde la función f(x) es
creciente estas tienen pendiente es positiva, es decir que f‘(x)>0en dichos puntos,
mientras que en los puntos donde f(x) es decreciente las pendientes de las rectas
tangentes son negativas, o sea que f‘(x) 0 entonces f(x) es
creciente en el intervalo
 Si f(x)es una función continua en [a,b] y derivable en (a,b) si f ’(x) < 0 entonces f(x) es
decreciente en el intervalo

EXTREMOS RELATIVOS
Definición: Sea f(x) una función y los puntos x0 y x1 en eldominio de f(x); entonces
 f(x0) es máximo relativo o local de f  existe un entorno de x0 [E(x0)]  Dom
f(x) / para todo x en el E(x0)  f(x0) > f(x)

 f(x1) es mínimo relativo o local de f existe un entorno de x1 [E(x1)]  Dom
f(x) / para todo x en el E(x1)  f(x1) < f(x)
Condición necesaria para la existencia de un valor extremo
Decimos que el punto (x0; f(x0)) es punto crítico de unafunción f(x) (posible máximo o
mínimo) si la derivada en dicho punto es cero o no existe; simbólicamente:
(x0; f(x0)) es punto crítico de f(x)  f ‘(x0) = 0 o no  f ‘(x0)
Condiciones suficientespara la existencia de un valor extremo
Existen dos criterios que permiten determinar si un punto crítico es máximo o mínimo de
una función.
Sea f(x) una función que admite derivada segunda y x0 unpunto crítico de ella, entonces:
 Primer Criterio: Si f ‘(x) x0, la función pasa de
ser decreciente a ser creciente, entonces hay un mínimo relativo en x0. Análogamente
si f ‘(x) > 0 para todo x <...